16. Линейная функция и её график

Определения и обозначения

Функция — это зависимость, при которой каждому допустимому значению x соответствует единственное значение y. Записывают такую зависимость, например, как y = f(x), где f(x) обозначает значение функции при выбранном x. Переменную x называют аргументом функции: задавая аргумент, мы определяем соответствующее значение y. Понятие функции помогает описывать, как одна величина зависит от другой.

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где k и b — числа. Коэффициент k умножается на аргумент и связан с наклоном графика, а b задаёт значение функции при x = 0. Например, в формуле y = 2x − 1 коэффициенты равны k = 2 и b = −1. По этим числам можно заранее судить о некоторых свойствах графика.

График функции — это множество точек координатной плоскости, координаты которых имеют вид (x; f(x)). Чтобы его построить, удобно составить таблицу: выбрать несколько значений x, вычислить соответствующие значения функции и записать пары координат. Каждая пара из таблицы задаёт точку графика. Таблица помогает перейти от формулы к чертежу без догадок.

Угловой коэффициент — это коэффициент k при x в формуле y = kx + b. Он определяет наклон прямой и показывает, как меняется значение y при увеличении x. Положительный k соответствует подъёму графика слева направо, отрицательный — спуску. Поэтому по знаку k можно понять направление изменения функции.

Как это устроено

Область определения линейной функции y = kx + b — все действительные числа. В формуле нет деления на выражение с x или извлечения корня из выражения с x, поэтому никакие значения аргумента не запрещены. Какое бы действительное число мы ни подставили вместо x, умножение на k и прибавление b дадут определённое значение y. Это позволяет строить график на всей координатной плоскости.

График линейной функции является прямой, потому что при равных изменениях x значение y изменяется на равные величины: слагаемое b остаётся постоянным, а kx меняется равномерно. Чтобы изобразить прямую, достаточно вычислить значения функции для двух различных x. По полученным парам координат отмечают две точки, а затем проводят через них прямую. Одна точка не задаёт единственную прямую: через неё можно провести много разных прямых.

Коэффициент k определяет направление и наклон прямой. Если k > 0, то при увеличении x значение y тоже увеличивается, значит, функция возрастает. Если k < 0, при увеличении x значение y уменьшается, и функция убывает. При k = 0 слагаемое kx обращается в ноль для любого x, поэтому y постоянно, а график становится горизонтальной прямой.

Коэффициент b показывает значение функции при x = 0: подставим ноль и получим y = k · 0 + b = b. Значит, график проходит через точку (0; b), лежащую на оси y. Например, если b = 3, прямая пересекает эту ось на высоте 3. Это удобная первая точка для построения графика.

Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Поэтому нуль линейной функции находят, решая уравнение kx + b = 0. При k ≠ 0 переносим b и делим на k: x = −b/k, а график пересекает ось x в точке (−b/k; 0). Если k = 0, функция постоянна: при b ≠ 0 нулей нет, а при b = 0 её значение равно нулю при любом x.

Свойства линейной функции y = kx + b

Пользуйся таблицей как кратким планом исследования функции: сначала определи k и b, затем выбери нужное свойство. Для точки пересечения с осью x обязательно проверь, что k ≠ 0. Учитывай, что при k = 0 график остаётся горизонтальным, даже если b равно нулю.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = 2x − 1. Выберем удобные значения x и вычислим значения y по формуле. Двух разных аргументов достаточно, потому что график линейной функции — прямая.

1. Возьмём x = 0 и подставим его в формулу: y = 2 · 0 − 1 = −1. Получаем точку (0; −1). Она лежит на оси y, так как её первая координата равна нулю.
2. Теперь возьмём x = 1: y = 2 · 1 − 1 = 1. Получаем точку (1; 1). Вторая точка отличается от первой, поэтому они однозначно задают прямую.
3. Отметим обе точки на координатной плоскости и проведём через них прямую. При проверке можно подставить, например, x = 2 и получить y = 3. Точка (2; 3) должна лежать на проведённой прямой.

Ответ: график — прямая через точки (0; −1) и (1; 1). Для построения можно выбрать и другие два значения x, если вычисления с ними удобны. Главное — правильно отметить координаты и провести прямую через обе точки.

Задача 2. Определить, возрастает или убывает функция y = −3x + 4, и указать точку пересечения графика с осью y. Сначала сопоставим формулу с общим видом y = kx + b. Затем используем знак k и значение b.

1. В данной формуле k = −3, а b = 4. Коэффициент k отрицателен, поэтому функция убывает. При увеличении x значение y уменьшается.
2. Чтобы найти пересечение с осью y, подставим x = 0. Получим y = −3 · 0 + 4 = 4, значит, искомая точка имеет координаты (0; 4).

Ответ: функция убывает, график пересекает ось y в точке (0; 4). Не следует использовать для ответа знак числа 4: направление изменения задаёт именно коэффициент при x. Значение b определяет пересечение с осью y.

Задача 3. Найти формулу линейной функции, график которой проходит через точки (−1; 5) и (2; −1), а затем определить её нуль. Обозначим неизвестные коэффициенты через k и b и подставим координаты точек в y = kx + b. Так получится система уравнений для этих коэффициентов.

1. Для точки (−1; 5) получаем 5 = −k + b, а для точки (2; −1) — −1 = 2k + b. Обе записи верны, потому что каждая точка графика удовлетворяет формуле функции. Теперь нужно найти k и b.
2. Из первого уравнения выразим b: b = 5 + k. Подставим это выражение во второе: −1 = 2k + 5 + k, откуда 3k = −6 и k = −2. Тогда b = 5 − 2 = 3.
3. Формула функции — y = −2x + 3. Чтобы найти нуль, приравняем значение y к нулю: −2x + 3 = 0, поэтому −2x = −3 и x = 3/2. Проверка подстановкой даёт −2 · 3/2 + 3 = 0.

Ответ: y = −2x + 3; нуль функции равен 3/2. При составлении уравнений важно сохранять знаки координат, особенно у точки с отрицательной абсциссой. Проверка обеих исходных точек в найденной формуле подтверждает результат.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что k — это значение функции при x = 0. Так путают коэффициенты, потому что оба числа находятся в формуле y = kx + b. Проверь себя подстановкой нуля: k · 0 исчезает, поэтому f(0) = b.

Ошибка: считать, что положительный k означает убывание, а отрицательный — возрастание. Такое бывает, если направление прямой связывают со знаком числа b или смотрят на график не слева направо. Проверка простая: сравни значения функции при увеличении x — при k > 0 они растут, при k < 0 уменьшаются.

Ошибка: строить график только по одной точке. Одну точку можно выбрать верно, но через неё проходит бесконечно много прямых, поэтому продолжение графика останется неопределённым. Найди ещё одну точку с другим значением x и проверь, что обе лежат на построенной прямой.

Ошибка: записывать нуль функции как b/k вместо −b/k. Знак теряют при переносе b в уравнении kx + b = 0. Проверь решение обратной подстановкой: если подставить найденное x в формулу, должно получиться y = 0.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужны умения отмечать точки на координатной плоскости, составлять таблицы значений и решать линейные уравнения. Таблица связывает вычисления по формуле с точками графика, а координаты помогают точно построить прямую. Эти навыки пригодятся при разборе других функций.

Графики помогают наглядно сравнивать зависимости и решать системы уравнений графическим способом: решение соответствует точке пересечения графиков. Угловой коэффициент и свойства линейной функции понадобятся при изучении графиков других функций. Линейные формулы также используют для моделирования ситуаций, где величины изменяются равномерно.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно двух точек.
• Значение функции при x = 0 равно b.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает.
• При k ≠ 0 нуль функции равен −b/k.

Как это устроено