§ 6. Линейная функция

Определения и обозначения

Линейная функция — функция, которую можно задать формулой y = kx + b, где k и b — числа, а x — независимая переменная. Это означает, что мы выбираем x, а формула определяет соответствующее ему y. Такая запись удобна для описания равномерных изменений величин.

Коэффициент k — число, стоящее при x в формуле y = kx + b. Он показывает, как меняется y при изменении x, и определяет наклон графика. По знаку k можно понять, направлена прямая вверх или вниз при движении слева направо.

Свободный член b — число, которое прибавляется к произведению kx. Оно показывает значение функции при x = 0, поскольку тогда y = k · 0 + b = b. Поэтому b помогает сразу определить точку, в которой график пересекает ось y.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют её формуле. Для линейной функции точка (x; y) принадлежит графику, если после подстановки её координат равенство y = kx + b верно. Это определение позволяет проверять, правильно ли отмечена точка.

Как это устроено

Формула y = kx + b задаёт функцию, потому что каждому выбранному x соответствует ровно одно значение выражения kx + b. Например, при фиксированных k, b и x нельзя получить два разных результата вычисления. Именно это свойство отличает функцию от простой записи, связывающей переменные без однозначного ответа.

График линейной функции является прямой, потому что при равных изменениях x значение y меняется на равные величины. Например, если x увеличить на 1, то kx + b изменится на k. Чтобы провести прямую на координатной плоскости, достаточно найти две точки с разными абсциссами: через них проходит единственная прямая.

Коэффициент b задаёт пересечение графика с осью y, так как у любой точки этой оси абсцисса равна нулю. Подставляя x = 0 в формулу, получаем y = k · 0 + b = b. Следовательно, точка пересечения имеет координаты (0; b), и её можно отметить ещё до вычисления других точек.

Знак k определяет направление изменения функции, потому что при увеличении x на положительное число произведение kx меняется в соответствии со знаком k. Если k > 0, значение y увеличивается, и функция возрастает; если k < 0, y уменьшается, и функция убывает. При k = 0 слагаемое kx всегда равно нулю, поэтому y постоянно и график горизонтален.

Для построения графика выбери несколько значений x и для каждого вычисли y по формуле. Полученные пары чисел запиши как координаты точек, отметь их на плоскости и проведи через них прямую. Обычно достаточно двух точек, но третья может помочь обнаружить ошибку в вычислениях или построении.

Как коэффициенты линейной функции влияют на её график

Сначала найди знак k: он подскажет направление прямой и изменение функции. Затем используй b, чтобы отметить точку пересечения с осью y. При k = 0 формула упрощается до y = b, поэтому значение функции не зависит от x.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = 2x − 3 найдите значения y при x = 0 и x = 2, затем постройте график. Нужно получить две точки, подставив каждое значение x в формулу. Через найденные точки проведём прямую.

1. Подставим x = 0: y = 2 · 0 − 3 = −3. Получаем точку (0; −3), которая также показывает пересечение с осью y.
2. Подставим x = 2: y = 2 · 2 − 3 = 1. Вторая точка — (2; 1), поэтому отмечаем обе точки на координатной плоскости.
3. Проведём через точки (0; −3) и (2; 1) прямую. Она и будет графиком функции.

Ответ: y(0) = −3, y(2) = 1; график проходит через точки (0; −3) и (2; 1).

Задача 2

Постройте графики функций y = 2x + 1 и y = 2x − 2 и определите их взаимное расположение. Чтобы сравнить прямые, сначала посмотрим на коэффициенты при x: они отвечают за наклон. Затем найдём точки для построения каждого графика.

1. Для y = 2x + 1 при x = 0 получаем y = 1, а при x = 1 получаем y = 3. Отмечаем точки (0; 1) и (1; 3) и проводим прямую.
2. Для y = 2x − 2 при x = 0 получаем y = −2, а при x = 1 получаем y = 0. Отмечаем точки (0; −2) и (1; 0) и проводим вторую прямую.
3. В обеих формулах коэффициент k равен 2, поэтому наклон прямых одинаков. Свободные члены различны, значит точки пересечения с осью y разные и прямые не совпадают.

Ответ: графики — параллельные прямые.

Задача 3

Найдите формулу линейной функции, график которой проходит через точки (0; 4) и (2; 0). Запишем общий вид y = kx + b и подставим координаты точек. Так как первая точка имеет x = 0, она сразу помогает найти свободный член.

1. Подставим точку (0; 4): 4 = k · 0 + b, значит b = 4. Искомая формула теперь имеет вид y = kx + 4.
2. Подставим точку (2; 0): 0 = 2k + 4. Вычтем 4 из обеих частей и получим 2k = −4, поэтому k = −2.
3. Запишем найденные коэффициенты в общей формуле: y = −2x + 4. Проверка по второй точке даёт −2 · 2 + 4 = 0, как и требуется.

Ответ: y = −2x + 4.

Типичные ошибки

Можно перепутать k и b и принять свободное число за коэффициент при x. Это случается, если не следить за тем, что именно умножается на x, а что стоит отдельно. Проверь запись: k — множитель перед x, b — отдельное слагаемое.

Иногда считают, что b является значением функции при любом x. Но при ненулевом x к b прибавляется kx, поэтому равенство y = b получается только при x = 0. Для проверки подставь выбранное значение в исходную формулу, а не делай вывод по виду записи.

Ещё одна ошибка — пытаться провести график по одной точке. Через неё можно провести сколько угодно прямых, и ни одна не будет определена однозначно. Найди вторую точку с другим x и проверь, что обе координаты вычислены по формуле.

При подстановке отрицательных чисел легко потерять знак, например ошибиться в произведении kx. Причина часто в том, что замену переменной записывают без скобок и торопятся считать. Записывай так: y = (−2) · (−3) + b, а затем отдельно проверяй знаки произведения и суммы.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией пригодятся навыки подстановки чисел в буквенное выражение и действий с положительными и отрицательными числами. Также нужно уметь отмечать точки по координатам на плоскости. Если эти действия пока даются трудно, сначала повтори их: они постоянно используются при вычислении значений и построении прямой.

Линейная функция описывает связь между величинами и помогает решать задачи, где одна величина меняется равномерно относительно другой. Она также связана с уравнениями: некоторые условия задачи можно записать через формулу y = kx + b. Позже графики линейных функций пригодятся при изучении систем линейных уравнений.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Чтобы построить прямую, достаточно найти две точки.
• При x = 0 значение функции равно b.
• Если k > 0, функция возрастает; если k < 0, убывает.
• Если k = 0, график — горизонтальная прямая y = b.