14. График функции

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной. Например, формула может задавать правило, по которому из выбранного числа получают результат. Это понятие нужно, чтобы описывать зависимости между величинами и понимать, какой результат получится при каждом разрешённом выборе.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая x. Её значения выбирают из области определения — набора чисел, для которых правило функции имеет смысл. Аргумент отвечает на вопрос, какое исходное значение мы подставляем. Например, если правило задано формулой y = 2x − 1, то выбранное число x подставляют вместо буквы в этой формуле.

Значение функции — результат зависимости при выбранном аргументе; его обозначают f(x) или y. Запись f(2), например, означает значение функции при аргументе 2, а не умножение f на 2. Это обозначение позволяет отдельно указать исходное число и полученный результат. Вместе аргумент и значение образуют пару, с которой можно работать при построении графика.

График функции — множество точек координатной плоскости, абсциссы и ординаты которых связаны данной функцией. Абсцисса — координата точки по горизонтальной оси, а ордината — по вертикальной. Поэтому каждой паре x и f(x) соответствует точка (x; f(x)). График нужен, чтобы изображать зависимость и считывать её значения по координатам.

Как это устроено

Чтобы вычислить значение функции, в её формулу вместо аргумента подставляют выбранное число. Например, при y = 2x − 1 и x = 0 получаем y = 2 · 0 − 1 = −1. При x = 2 выходит y = 2 · 2 − 1 = 3. Результаты записывают парами (0; −1) и (2; 3), потому что первая часть пары — аргумент, а вторая — вычисленное значение.

Каждой паре (x; f(x)) соответствует точка графика с координатами x и f(x): число x откладывают по горизонтальной оси, а значение функции — по вертикальной. Так появляется точка (x; f(x)), отмечающая оба числа одновременно. Если взять другое допустимое значение аргумента, получится другая пара и, как правило, другая точка. Все точки, построенные для функции, вместе образуют её график.

Для построения по таблице сначала выбирают несколько допустимых аргументов, затем вычисляют значения функции и записывают пары. Каждую пару наносят на координатную плоскость: сначала находят абсциссу, затем ординату. Чем аккуратнее выбран масштаб и отмечены координаты, тем точнее получится рисунок. Точки соединяют лишь тогда, когда это соответствует зависимости: у линейной функции точки лежат на прямой, а у некоторых других функций соединение отрезками может добавить точки, которых в графике нет.

Чтобы найти значение функции по графику, сначала ищут заданный аргумент на горизонтальной оси. От этой отметки мысленно проводят вертикаль до графика и считывают ординату найденной точки. Именно ордината показывает значение функции при выбранном x. Например, если точка графика с абсциссой 1 имеет ординату 2, то f(1) = 2.

График функции не может содержать две точки с одинаковой абсциссой, но разными ординатами. Одинаковая абсцисса означала бы один и тот же аргумент, а разные ординаты — два разных значения функции при нём. Это противоречит определению функции, согласно которому каждому допустимому аргументу соответствует ровно одно значение. Поэтому при проверке графика полезно мысленно провести вертикальную линию: она не должна пересекать график в двух точках с разными ординатами.

Как связаны формула функции, значения и точки графика

Читайте строку слева направо: сначала выбирают допустимый аргумент, затем находят значение функции по формуле. Полученные числа записывают как координаты одной точки — сначала x, потом f(x). Так таблица связывает вычисления с построением графика.

Например, если при выбранном x получилось значение 4, пара координат будет иметь вид (x; 4). По этой записи можно понять, где именно на плоскости отметить точку. Несколько таких пар дают точки, которые помогают построить или исследовать график.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = 2x − 1 найдите значения при x = 0 и x = 2 и укажите соответствующие точки графика. Нужно подставить каждый аргумент отдельно, чтобы не перепутать результаты. После вычислений запишем каждую пару в порядке (x; y). Так пара сразу задаст координаты точки.

1. При x = 0 подставляем ноль в формулу: y = 2 · 0 − 1 = −1. Значит, при аргументе 0 значение функции равно −1.
2. При x = 2 вычисляем: y = 2 · 2 − 1 = 3. Значит, значение функции при аргументе 2 равно 3.
3. Записываем точки, ставя аргумент первым: (0; −1) и (2; 3). Эти точки принадлежат графику функции.

Ответ: f(0) = −1, f(2) = 3; точки графика — (0; −1) и (2; 3). Проверка порядка координат проста: первая координата должна совпасть с заданным x, вторая — с полученным значением y.

Задача 2

Постройте график функции y = x + 2, составив таблицу значений для x = −2, −1, 0, 1. График этой функции будет прямой, поэтому несколько верно отмеченных точек достаточно, чтобы её провести. Сначала вычислим значение для каждого аргумента, а затем запишем результат как координаты. Каждый расчёт делаем отдельно, чтобы не перенести значение в соседнюю строку.

1. При x = −2: y = −2 + 2 = 0, получаем точку (−2; 0).
2. При x = −1: y = −1 + 2 = 1, получаем точку (−1; 1).
3. При x = 0: y = 0 + 2 = 2, получаем точку (0; 2).
4. При x = 1: y = 1 + 2 = 3, получаем точку (1; 3). Отмечаем все четыре точки и проводим через них прямую.

Ответ: таблица значений задаёт точки (−2; 0), (−1; 1), (0; 2), (1; 3); график — прямая, проходящая через эти точки. Для проверки можно подставить координаты любой отмеченной точки в формулу: например, для (0; 2) равенство y = x + 2 верно.

Задача 3

По графику функции определите f(1), найдите аргумент, при котором f(x) = 2, и проверьте, может ли график проходить через точки (1; 2) и (1; 3). График для считывания должен быть дан на координатной плоскости; здесь рассмотрим, как читать его координаты. Сначала ориентируемся на нужное значение одной координаты, затем находим соответствующую координату точки. Последний вопрос проверим по определению функции.

1. Чтобы найти f(1), на горизонтальной оси отыскиваем x = 1, поднимаемся до графика и считываем ординату точки. Если на данном графике это точка (1; 2), то f(1) = 2.
2. Чтобы найти аргумент, при котором f(x) = 2, отыскиваем ординату 2 на вертикальной оси и движемся до графика. Абсцисса точки пересечения и есть искомый аргумент; если это точка (1; 2), то x = 1.
3. Точки (1; 2) и (1; 3) имеют одинаковую абсциссу 1, но разные ординаты. Обе не могут принадлежать графику одной функции: иначе аргументу 1 соответствовали бы два значения.

Ответ: при точке (1; 2) на графике f(1) = 2, аргумент для значения 2 равен 1; обе точки (1; 2) и (1; 3) не могут одновременно лежать на графике одной функции. Если график другой, при считывании нужно ориентироваться именно на его реальные пересечения с координатными линиями.

Типичные ошибки

Первая ошибка — путать аргумент и значение функции: x является абсциссой, а f(x) — ординатой. Так бывает, когда числа в паре воспринимают как равноправные и не связывают их с осями. Проверяй себя по записи (x; f(x)): первое число должно совпадать с выбранным аргументом, второе — с результатом подстановки. Можно также проверить, что точка располагается на нужной вертикали и на высоте найденного значения.

Вторая ошибка — записывать точку как (f(x); x), меняя координаты местами. Её допускают, если забывают правило записи координат или начинают с результата вычисления. На координатной плоскости сначала указывают движение по горизонтали, затем по вертикали, поэтому верная запись — (x; f(x)). Для проверки прочитай координаты точки по осям и сравни их с парой.

Третья ошибка — считать графиком только отмеченные точки из таблицы. Эти точки получены для нескольких выбранных аргументов и могут быть лишь частью графика, потому что в области определения бывают и другие значения. Ошибка возникает из-за того, что таблица показывает только отдельные вычисления. Проверяй, задан ли график целиком правилом функции и какие значения аргумента ещё возможны.

Четвёртая ошибка — соединять отмеченные точки отрезками без проверки. Такое соединение может добавить точки, которые не соответствуют правилу функции, например если допустимы лишь отдельные значения аргумента. Часто соединяют точки по привычке, принимая любой набор за непрерывную линию. Перед соединением выясни, какие значения x разрешены и какой вид имеет зависимость; если уверенности нет, не добавляй отрезки без основания.

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужны навыки подстановки чисел в выражения и вычисления значений буквенных выражений. Без них нельзя получить пары координат из формулы. Также важно знать координатную плоскость: понимать, где находятся абсцисса и ордината, как устроены оси и как учитывать масштаб. Эти знания помогают точно наносить точки и считывать их координаты.

Графики понадобятся при изучении линейной функции: по ним можно увидеть, как меняются значения при изменении аргумента. С их помощью удобно сравнивать зависимости и замечать, где они ведут себя одинаково или по-разному. Кроме того, графический способ пригодится при решении уравнений: решения можно искать по точкам пересечения графиков.

Что запомнить

• График функции состоит из точек с координатами (x; f(x)).
• Абсцисса точки графика — аргумент, ордината — значение функции.
• Одному допустимому аргументу соответствует ровно одно значение функции.
• Таблица значений помогает получить точки для построения графика.
• По графику можно находить значения функции и аргументы, соответствующие заданному значению.
• Набор нескольких точек может не показывать график целиком.

График функции y = x + 1