13. Вычисление значений функции по формуле

Определения и обозначения

Функция, заданная формулой, — это зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента формула ставит в соответствие значение функции. Например, формула y = 3x − 2 связывает число x с числом, которое получится после вычисления. Такое определение помогает понять, что формула задаёт правило перехода от одного числа к другому.

Аргумент функции — независимая переменная, значение которой подставляют в формулу; обычно её обозначают буквой x. Например, в выражении y = 3x − 2 аргументом служит x. Это название нужно, чтобы отличать задаваемое число от результата, который получится после вычисления.

Значение функции — результат вычисления формулы при заданном значении аргумента; его обозначают, например, f(a) или y при x = a. В записи f(4) число 4 показывает, при каком аргументе нужно найти результат. Обозначение позволяет коротко записать и сам вопрос, и полученный ответ.

Вычисление значения функции — подстановка заданного аргумента в формулу и выполнение необходимых действий с учётом их порядка. Например, чтобы найти значение при x = 4, нужно заменить x числом 4, а затем вычислить выражение. Это умение позволяет получить конкретные значения из общего правила, записанного формулой.

Как это устроено

Формула задаёт соответствие между аргументом и значением функции: выбираем допустимое число x и применяем к нему указанное правило. Для одного и того же x по одной формуле получится ровно один результат, потому что действия выполняются однозначно. Например, в y = 3x − 2 при x = 4 сначала умножаем 4 на 3, затем вычитаем 2. Получается 10, и другой результат при тех же условиях получить нельзя.

Запись f(x) обозначает функцию, зависящую от аргумента x, а не произведение букв f и x. Если вместо x задано число a, формула превращается в числовое выражение, а его результат записывают как f(a). Поэтому f(3) означает значение функции при аргументе 3. Число в скобках указывает, какое значение аргумента нужно использовать.

Удобно действовать по шагам: сначала записать исходную формулу, затем заменить каждое x заданным числом и выполнить вычисления. Если подставляемое число отрицательное, его заключают в скобки, чтобы было ясно, что знак относится ко всему числу. После подстановки получается обычное числовое выражение, которое нужно вычислить по правилам порядка действий. Такой порядок помогает не потерять часть формулы и не перепутать операции.

С отрицательными числами особенно легко ошибиться при возведении в степень. Например, при x = −2 выражение x² превращается в (−2)², а оно равно 4, потому что квадрат возводит в степень всё число в скобках. Если записать −2² без скобок, сначала вычислится 2², и перед результатом останется минус: получится −4. Скобки также помогают правильно выполнить умножение отрицательных чисел.

Допустимым называют такое значение аргумента, при котором формула имеет смысл. В дроби знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль невозможно. Поэтому перед вычислением дробной функции нужно подставить аргумент в знаменатель и проверить результат. Если знаменатель стал нулём, значение функции при этом аргументе найти нельзя.

Как найти значение функции по формуле

Читайте таблицу сверху вниз: сначала найдите формулу и заданный аргумент, а затем выполните подстановку. Полученное выражение вычисляйте с учётом скобок и порядка действий. В ответе укажите не только число, но и аргумент, при котором найдено значение функции.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = 3x − 2 найдите значение y при x = 4. Нужно заменить аргумент числом 4 во всей формуле. Затем можно выполнить умножение и вычитание по порядку действий. Так мы получим значение функции именно при заданном аргументе.

1. Запишем формулу и условие: y = 3x − 2, x = 4.
2. Подставим 4 вместо x: y = 3 · 4 − 2.
3. Сначала выполним умножение: y = 12 − 2 = 10.

Ответ: y = 10 при x = 4, или f(4) = 10. В записи ответа оставляем аргумент, чтобы было понятно, к какому значению он относится. Проверить результат можно повторным вычислением выражения 3 · 4 − 2.

Задача 2

Для функции f(x) = x² − 2x + 1 найдите f(−2) и f(3). Здесь требуется вычислить функцию для двух разных аргументов, поэтому подстановки удобнее выполнить отдельно. При отрицательном аргументе особенно внимательно поставим скобки: они покажут, что в квадрат возводится число −2 целиком. После подстановки соблюдаем порядок действий.

1. Для x = −2 подставим число в каждое место формулы: f(−2) = (−2)² − 2 · (−2) + 1.
2. Вычислим степень и произведение: f(−2) = 4 + 4 + 1 = 9.
3. Для x = 3 подставим аргумент: f(3) = 3² − 2 · 3 + 1 = 9 − 6 + 1 = 4.

Ответ: f(−2) = 9, f(3) = 4. Два результата соответствуют разным значениям аргумента, хотя формула функции одна и та же. При проверке первого вычисления полезно отдельно убедиться, что (−2)² равно 4, а не −4.

Задача 3

Для функции f(x) = (x + 1)/(x − 2) найдите f(3) и укажите, можно ли найти f(2). В этой задаче важно не только выполнить подстановку, но и проверить знаменатель. Если он не равен нулю, дробь можно вычислить. Если же знаменатель обращается в ноль, значение функции не определено.

1. Подставим 3 в числитель и знаменатель: f(3) = (3 + 1)/(3 − 2) = 4/1 = 4.
2. Подставим 2: f(2) = (2 + 1)/(2 − 2) = 3/0.
3. Деление на ноль невозможно, поэтому значение функции при x = 2 не существует.

Ответ: f(3) = 4; f(2) найти нельзя. Проверка знаменателя помогает сразу определить, допустима ли подстановка. Даже если числитель вычисляется без затруднений, нулевой знаменатель делает всю дробь не имеющей значения.

Типичные ошибки

Иногда заданное число подставляют только вместо первого x, оставляя остальные переменные без изменений. Так происходит, если не просмотреть формулу целиком перед вычислением. В результате выражение не соответствует выбранному аргументу. Проверка простая: после подстановки в формуле не должно остаться ни одного x, если аргумент задан числом.

При подстановке отрицательного числа иногда забывают скобки и неверно считают, например, квадрат. Причина в том, что запись −2² означает не то же самое, что (−2)²: степень сначала относится к числу 2. Чтобы проверить себя, заключай отрицательный аргумент в скобки и отдельно вычисляй степень и знак.

Ещё одна ошибка — нарушить порядок действий и сначала складывать или вычитать, не выполнив степень, умножение или деление. Это обычно случается, когда вычисления делают наспех и не разделяют их на шаги. Проверяй выражение по порядку: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Запись промежуточных результатов помогает заметить неверный шаг.

В дробной функции можно по ошибке подставить аргумент, при котором знаменатель равен нулю, и попытаться вычислить дробь. Такая ошибка возникает, если сразу считать числитель и не проверять допустимость аргумента. Перед делением найди значение знаменателя после подстановки. Если оно равно нулю, остановись: значение функции при таком аргументе не определено.

Связь с другими темами

Для подстановки чисел нужны навыки работы с буквенными выражениями, положительными и отрицательными числами, а также знание порядка действий. Поэтому вычисление значений функции опирается на уже знакомые правила арифметики. Полученные значения можно заносить в таблицу и использовать для построения графика функции. Этот же способ пригодится при работе с формулами, описывающими разные зависимости, и при решении задач с такими формулами.

Что запомнить

• Чтобы найти значение функции, подставь заданный аргумент вместо переменной в формуле.
• Значение функции при x = a можно обозначить f(a).
• Подставлять нужно вместо каждого вхождения переменной.
• Отрицательное значение аргумента при подстановке удобно заключать в скобки.
• При вычислениях соблюдай порядок действий.
• Перед вычислением дроби проверь, не равен ли её знаменатель нулю.