13. Вычисление значений функции по формуле

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Например, формула может связывать число x с результатом вычисления. Это понятие нужно, чтобы описывать зависимости и точно понимать, какое значение получится для выбранного числа.

Аргумент функции — независимая переменная, значение которой подставляют в формулу функции. Чаще всего аргумент обозначают буквой x, но могут использовать и другие буквы. Аргумент нужен, чтобы указать, для какого именно числа требуется выполнить вычисление.

Значение функции — результат вычисления формулы при заданном значении аргумента; его обозначают, например, f(a). В этой записи f — обозначение функции, а a — аргумент, которому соответствует найденный результат. Это понятие помогает записать ответ кратко и отличить входное число от результата.

Формула функции — запись, которая задаёт правило вычисления значения функции по её аргументу. Например, в записи f(x) = x² + 2x правило состоит в том, чтобы возвести аргумент в квадрат и прибавить удвоенный аргумент. Формула позволяет находить значения функции для разных чисел, не описывая каждый раз правило словами.

Как это устроено

Чтобы найти значение функции, вместо аргумента в формуле подставляют указанное число. Затем выполняют те же действия, которые задаёт формула, не меняя их порядок. Например, если формула содержит умножение и вычитание, сначала выполняют умножение, а потом вычитание. Так сохраняется правило, по которому функция связывает аргумент с результатом.

Запись f(a) означает, что нужно найти значение функции f при аргументе a. Буква внутри скобок не является отдельной операцией: она указывает, какое число подставить вместо аргумента. Если задано f(4), в формулу функции вместо x подставляют 4. Такая запись помогает отличить конкретное значение функции от самой формулы.

Если аргумент отрицательный, при подстановке его заключают в скобки. Это показывает, что знак минус относится ко всему числу и оно заменяет аргумент целиком. Например, при x = −3 выражение x² превращается в (−3)² и равно 9. Без скобок запись −3² означает противоположное число к квадрату трёх, то есть −9.

Перед вычислением проверяют, допустимо ли заданное значение аргумента. Формула не всегда имеет смысл при любом числе: например, делить на ноль нельзя. Поэтому в дробной формуле нужно подставить аргумент в знаменатель и убедиться, что знаменатель не равен нулю. Если проверку пропустить, можно получить выражение, которое невозможно вычислить.

После подстановки получают числовое выражение и вычисляют его по правилам порядка действий. Сначала выполняют действия в скобках, затем степени, умножение и деление, после этого сложение и вычитание. Результат записывают как значение функции при заданном аргументе, например f(4) = 7. Такая запись показывает и найденное число, и условие, для которого оно найдено.

Порядок вычисления значения функции

Пользуйся таблицей как последовательной проверкой: переходи к следующему шагу, только закончив предыдущий. Особенно внимательно проверяй допустимость аргумента и замену во всех местах формулы. В конце запиши результат именно для заданного значения аргумента.

Разбор задач

Задача 1. Функция задана формулой y = 3x − 5. Найдите значение функции при x = 4. Здесь аргумент равен 4, поэтому заменяем им каждое x в формуле. Получившееся выражение нужно вычислить сначала умножением, затем вычитанием.

1. Подставим 4 вместо x: y = 3 · 4 − 5.
2. Выполним умножение: 3 · 4 = 12, поэтому y = 12 − 5.
3. Вычтем: 12 − 5 = 7.

Ответ: при x = 4 значение функции равно 7. Проверка проста: подстановка выполнена вместо единственного аргумента, а действия сделаны в правильном порядке. Поэтому полученное число соответствует формуле.

Задача 2. Функция задана формулой f(x) = x² + 2x. Найдите f(−3). Запись f(−3) означает, что аргумент равен −3, поэтому его нужно заменить на это число в обоих местах формулы. Скобки сохраняют отрицательный знак при возведении в квадрат и умножении.

1. Подставим аргумент: f(−3) = (−3)² + 2 · (−3).
2. Вычислим степень и произведение: (−3)² = 9, а 2 · (−3) = −6.
3. Сложим результаты: 9 + (−6) = 3.

Ответ: f(−3) = 3. Отрицательное число в первом слагаемом возводилось в квадрат целиком, поэтому получилось положительное 9. Во втором слагаемом произведение осталось отрицательным.

Задача 3. Функция задана формулой g(x) = (x + 1)/(x − 2). Найдите g(5) и выясните, можно ли найти g(2). Сначала подставим 5 и выполним вычисление дроби. Для второго аргумента отдельно проверим знаменатель: если он равен нулю, деление невозможно.

1. При x = 5 получаем g(5) = (5 + 1)/(5 − 2).
2. Выполним действия в числителе и знаменателе: g(5) = 6/3 = 2.
3. При x = 2 знаменатель равен 2 − 2 = 0, поэтому g(2) найти нельзя.

Ответ: g(5) = 2, а значение x = 2 недопустимо. При этом аргументе формула потребовала бы делить на ноль. Проверка знаменателя показывает, что функция задана не для всех чисел.

Типичные ошибки

При отрицательном аргументе иногда не ставят скобки и путают (−3)² с −3². Так происходит, когда забывают, что степень без скобок относится только к числу 3. Чтобы проверить себя, сначала выпиши подстановку со скобками, а затем отдельно вычисли степень.

Бывает, что аргумент заменяют не во всех местах формулы и в выражении остаётся x. Обычно это случается, если переменная встречается несколько раз и при подстановке просматривают только первое место. Проверь полученную запись: в ней не должно остаться аргумента, если для него задано конкретное число.

Ещё одна ошибка — нарушить порядок действий после подстановки, например сложить слагаемые до возведения в степень. Причина часто в том, что числовое выражение читают слева направо, не учитывая правила вычислений. Проверяй себя, отмечая действия по очереди: скобки, степени, умножение и деление, сложение и вычитание.

Некоторые пытаются вычислить дробь, не проверив, не стал ли знаменатель равен нулю. Забывают об этом, потому что сразу переходят к арифметике после подстановки. Сначала отдельно вычисли знаменатель; если он равен нулю, остановись — такое значение аргумента недопустимо.

Связь с другими темами

Для подстановки аргумента нужно уметь заменять буквы числами в буквенных выражениях. Также необходимо вычислять числовые выражения, соблюдая порядок действий. Эти навыки помогают получить правильный результат по формуле функции.

Аргумент и значение функции понадобятся при составлении таблиц значений: в таблицу записывают выбранные аргументы и соответствующие им результаты. По таким парам чисел строят графики функций. Поэтому вычисление значений подготавливает к изучению графиков.

Подстановка используется при изучении линейной, квадратичной и других функций, заданных формулами. В каждой из них нужно уметь находить результат для выбранного аргумента. Этот способ помогает исследовать, как меняется зависимость при разных значениях переменной.

Что запомнить

• Значение функции находят подстановкой заданного аргумента в формулу.
• f(a) — значение функции f при аргументе a.
• При подстановке отрицательного числа используют скобки.
• После подстановки соблюдают порядок действий.
• Аргумент должен быть допустимым для формулы.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.