14. График функции

Определения и обозначения

График функции — множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения функции. Иными словами, для каждого допустимого аргумента берут соответствующее значение функции и получают пару чисел. График нужен, чтобы наглядно показать связь между аргументом и значением функции.

Точка графика функции — точка с координатами (x; y), для которой выполняется равенство y = f(x). Первое число называют абсциссой, второе — ординатой. Это определение позволяет проверить по формуле, находится ли конкретная точка на графике.

Таблица значений функции — таблица, в которой каждому выбранному значению аргумента x соответствует вычисленное значение y = f(x). В ней удобно видеть пары чисел, которые затем станут координатами точек. Таблица помогает не перепутать результаты вычислений при построении графика.

Координатная плоскость — система координат, на которой по значениям x и y отмечают точки графика. Горизонтальная ось обычно служит для аргумента, а вертикальная — для значения функции. Координатная плоскость нужна, чтобы из числовых пар получить наглядное изображение.

Как это устроено

Пара чисел (x; f(x)) задаёт точку потому, что координаты указывают её положение на плоскости: сначала от начала координат откладывают x по горизонтали, затем f(x) по вертикали. Если число отрицательное, движение по соответствующей оси идёт в противоположную сторону. Например, пара (2; 5) означает, что нужно найти пересечение вертикали x = 2 и горизонтали y = 5. Так вычисленная пара превращается в точку графика.

Для построения выбирают несколько значений аргумента, потому что по одной паре нельзя понять, как расположены остальные точки. Подставляя каждый x в формулу, находят соответствующее y и записывают результаты в таблицу. Удобные значения, например ноль или небольшие целые числа, обычно упрощают вычисления. Таблица служит планом построения и помогает проверить, что ни одна выбранная пара не потерялась.

График состоит из всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству y = f(x), потому что именно это равенство задаёт правило функции. Если точка подходит под правило, она должна входить в график; если не подходит — её там быть не должно. При этом таблица содержит только несколько выбранных пар, а график может включать и точки для остальных аргументов области определения. Поэтому он показывает не только результаты таблицы, но и всю зависимость.

Вертикальная прямая задаёт одно значение x. Для функции этому аргументу соответствует ровно одно значение f(x), значит, на графике при такой абсциссе может быть только одна точка. Если прямая пересекала бы график в двух разных точках, одному x соответствовали бы две ординаты, а это противоречило бы определению функции. Это свойство помогает отличить график функции от произвольного набора точек.

Чтобы найти значение функции по графику, сначала отмечают заданный аргумент на горизонтальной оси и проводят вертикаль до графика. Ордината точки пересечения показывает значение функции. Если, наоборот, задано значение функции, проводят горизонталь на этом уровне и смотрят, в каких местах она пересекает график: абсциссы пересечений и будут нужными аргументами. По чертежу ответ иногда получается приближённым, особенно если пересечение расположено между делениями.

Построение и чтение графика функции

Пользуйся таблицей как последовательным планом: сначала вычисли пары значений, затем перенеси их на координатную плоскость. Перед соединением точек убедись, что форма линии соответствует функции. При чтении графика отслеживай, по какой оси задано исходное значение.

Разбор задач

Построить график функции y = 2x + 1 по значениям x = −2, −1, 0, 1, 2

Для каждой выбранной абсциссы вычислим значение по формуле y = 2x + 1. Например, при x = −2 получаем y = 2 · (−2) + 1 = −3. Затем отметим все пары на плоскости: поскольку формула линейная, точки лежат на одной прямой.

1. Подставляем x = −2, −1, 0, 1, 2 в формулу. Получаем соответственно y = −3, −1, 1, 3, 5.
2. Составляем пары координат: (−2; −3), (−1; −1), (0; 1), (1; 3), (2; 5). Проверяем, что в каждой паре первым записан x, а вторым — y.
3. Отмечаем пары на координатной плоскости и проводим через них прямую. Для линейной функции точки можно соединить прямой, поскольку её график имеет именно такой вид.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (−2; −3), (−1; −1), (0; 1), (1; 3), (2; 5).

Проверить, принадлежит ли точка A(2; 7) графику функции y = 3x + 1

У точки A абсцисса равна 2, а ордината равна 7. Чтобы проверить принадлежность, достаточно узнать, какое значение формула задаёт при x = 2. Если оно совпадёт с ординатой, координаты точки удовлетворяют уравнению графика.

1. Подставляем абсциссу 2 в формулу: y = 3 · 2 + 1.
2. Вычисляем: y = 6 + 1 = 7. Полученное значение сравниваем с ординатой точки A.
3. Ордината равна 7, поэтому координаты точки удовлетворяют равенству y = 3x + 1.

Ответ: точка A(2; 7) принадлежит графику функции.

По графику определить f(−1), f(0), f(2) и аргументы, при которых функция равна 3

Для чтения графика важно двигаться от заданной координаты к линии, а затем к другой оси. Для значений функции задан аргумент, поэтому начинаем с оси x; для поиска аргумента задано значение функции, поэтому начинаем с оси y. В каждом случае ответ дают координаты точки пересечения с графиком.

1. На оси x находим −1, 0 и 2. Через каждое значение мысленно проводим вертикаль до графика, затем считываем ординату пересечения — это f(−1), f(0) и f(2).
2. На оси y отмечаем значение 3 и проводим горизонталь. Находим все точки, где она пересекает график, и считываем их абсциссы.
3. Записываем считанные координаты. Если пересечение находится не на делении, значение указываем приближённо; без самого графика численные результаты определить нельзя.

Ответ: значения f(−1), f(0), f(2) и нужные аргументы считывают по описанным координатам на заданном графике.

Типичные ошибки

Путают координаты и записывают (f(x); x) вместо (x; f(x)). Обычно это происходит, когда забывают, что сначала записывают аргумент, а затем значение функции. Проверь себя: первая координата точки должна совпадать с выбранным x, вторая — с вычисленным y.

Точки отмечают с неверным масштабом по одной из осей. Ошибка возникает, если соседние деления на оси принимают за разные величины или откладывают числа неравномерно. Перед построением проверь подписи и шаг делений: одинаковые отрезки на одной оси должны соответствовать одинаковому изменению координаты.

Полученные точки иногда соединяют ломаной, не учитывая вид функции. Так поступают, потому что таблица показывает отдельные точки, но сама по себе не объясняет поведение функции между ними. Сверься с формулой и областью определения: для линейной функции проводят прямую, а для других зависимостей способ соединения может быть иным.

Точку считают принадлежащей графику только из-за подходящей абсциссы. Но одной абсциссы недостаточно: ордината тоже должна совпасть с результатом вычисления f(x). Для проверки подставь x точки в формулу и сравни полученное число с её y; равенство подтверждает принадлежность.

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужны умения строить точки по координатам и вычислять значения выражений. Тема опирается на понятия функции, аргумента, значения функции и области определения: именно они объясняют, какие пары координат можно изображать. Позже графики помогут изучать линейную функцию, решать системы уравнений и находить ответы в задачах по графику. Поэтому аккуратное чтение осей и формул пригодится в разных разделах алгебры.

Что запомнить

• График функции состоит из всех точек с координатами (x; f(x)).
• Абсцисса точки графика — аргумент x, а ордината — значение функции y.
• Для построения графика составляют таблицу значений.
• Каждой паре (x; f(x)) соответствует точка графика.
• По графику можно находить значения функции и соответствующие им значения аргумента.
• Вертикальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке.
• График строят только для значений аргумента из области определения.