"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Функция — это правило, которое каждому допустимому значению одной переменной ставит в соответствие ровно одно значение другой. Она помогает описывать, как меняется одна величина при изменении другой: например, путь зависит от времени. Аргумент обычно обозначают x, а зависимую переменную — y; запись y = f(x) указывает на связь между ними. Чтобы работать с функцией, нужно уметь подставлять аргументы в правило и определять, при каких значениях оно имеет смысл.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной. Например, если каждому числу x по правилу прибавляют 3, результат определяется однозначно. Это условие помогает отличить функцию от зависимости, в которой одному и тому же x могут соответствовать разные результаты.
Независимая переменная, или аргумент, — переменная, значения которой выбирают или задают; обычно её обозначают буквой x. Для формулы y = 2x + 3 можно выбрать значение x, а затем найти соответствующий результат. Аргумент нужен, чтобы указать, для какого входного значения мы применяем правило.
Зависимая переменная — переменная, значение которой определяется значением аргумента; обычно её обозначают буквой y. В формуле y = 2x + 3 значение y меняется вслед за x, потому что оно вычисляется по этому правилу. Это обозначение позволяет записать результат зависимости и сравнивать его при разных аргументах.
Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. Например, если правило требует делить на x, ноль нельзя включить в область определения. Указание этой области показывает, какие значения можно подставлять, не нарушая условие задачи и смысл вычислений.
Зависимость между величинами становится функцией, если каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно один результат. Допустим, стоимость нескольких одинаковых тетрадей зависит от их количества: выбранному количеству соответствует одна стоимость при фиксированной цене. Если для одного и того же аргумента получаются два разных значения, правило не задаёт функцию. Поэтому проверяют не только наличие связи, но и её однозначность.
Запись y = f(x) показывает, что значение y определяется аргументом x по некоторому правилу. Буква f служит названием этого правила, а f(x) читают как значение функции при аргументе x. Скобки здесь не означают умножение: выражение f(2) обозначает результат, который получается, когда аргумент равен 2. Такая запись удобна, когда нужно говорить о функции, не выписывая каждый раз её формулу.
Чтобы найти значение функции, вместо аргумента подставляют заданное число и выполняют действия по порядку. Например, для y = 2x + 3 при x = 4 получаем y = 2 · 4 + 3 = 11. Сначала указывают выбранный аргумент, затем вычисляют соответствующий результат. Подстановка превращает правило в числовое выражение, которое можно посчитать.
Область определения может ограничиваться условием задачи или самой формулой. Если величина по смыслу означает число людей, отрицательные значения обычно не подходят; если в формуле есть дробь, нельзя допускать нулевой знаменатель. Например, в y = 12/x при x = 0 вычисление невозможно, потому что делить на ноль нельзя. Поэтому до подстановки стоит проверить, разрешено ли выбранное значение аргумента.
Одну функцию можно задать формулой, таблицей или описанием правила. Формула сразу показывает способ вычисления, таблица перечисляет несколько пар значений, а словесное описание объясняет, как получить результат. Например, правило «умножить x на 2 и прибавить 3» задаёт ту же зависимость, что и формула y = 2x + 3. Какой бы способ ни использовали, каждому допустимому аргументу должно соответствовать одно и то же определённое значение y.
| Элемент | Обозначение | Что означает | Пример для y = 2x + 3 |
|---|---|---|---|
| Функция | y = f(x) | Правило зависимости между аргументом и результатом | y = 2x + 3 |
| Аргумент | x | Независимая переменная, которую выбирают или задают | x — любое допустимое число |
| Значение функции | y или f(x) | Результат, полученный для выбранного аргумента | При x = 1: f(1) = 5 |
| Область определения | обычно D(f) | Все значения аргумента, для которых функция задана | Все действительные числа |
Сначала найдите в таблице правило и обозначение аргумента, затем определите, какое значение x дано в задаче. Подставьте его в формулу и найдите значение функции, сверяясь с соответствующей строкой. Последняя строка напоминает, что подставлять можно только значения из области определения.
Задача 1. Для зависимости y = 3x − 2 найдите значение функции при x = 4. Нужно узнать, какое y задаёт формула именно для выбранного аргумента. Поэтому заменяем x числом 4 и вычисляем полученное выражение.
При аргументе 4 функция принимает значение 10. Проверка проста: подстановка числа 4 в исходное правило должна снова дать 10.
Задача 2. Для функции y = x² + 1 найдите значение при x = −3 и укажите, что здесь является аргументом, а что — значением функции. Отрицательное число подставим в скобках, чтобы квадрат относился ко всему числу. После вычисления отделим выбранный аргумент от полученного результата.
Аргумент равен −3, а значение функции при этом аргументе равно 10, то есть f(−3) = 10. Скобки помогают не перепутать квадрат отрицательного числа с противоположным знаком перед квадратом.
Задача 3. Для зависимости y = 12/x выясните, можно ли считать её функцией при x = 0, и найдите область определения, если x — любое действительное число. Сначала проверим, имеет ли смысл формула при нулевом знаменателе. Затем перечислим все действительные значения аргумента, для которых деление возможно.
При x = 0 формула не задаёт значение, поэтому ноль не входит в область определения. Для всех остальных действительных x частное 12/x существует, и область определения — все действительные числа, кроме нуля. На этой области каждому аргументу соответствует ровно один результат.
Иногда любую связь между величинами называют функцией, хотя это неверно, если одному аргументу соответствуют два результата. Ошибку допускают, потому что замечают саму зависимость, но не проверяют однозначность. Для проверки выберите одно значение аргумента и выясните, получается ли для него ровно одно значение зависимой переменной. Если результатов несколько, перед вами не функция.
При записи f(2) число 2 иногда принимают за значение функции. На самом деле 2 — аргумент, а значение функции обозначено всем выражением f(2), которое нужно вычислить по правилу. Такая путаница возникает из-за того, что число в скобках легко принять за результат. Проверьте себя вопросом: «Какое значение подставили?» — ответ будет аргументом, а полученное число — значением функции.
Если подставить отрицательное число без скобок, можно неверно выполнить возведение в квадрат: например, записать −3² вместо (−3)². Причина ошибки — скобки показывают, что аргументом является всё отрицательное число. При x = −3 сначала подставьте (−3), затем возведите выражение в квадрат: (−3)² = 9. Сверьте запись с условием: знак минус должен войти в подставляемое значение.
В область определения могут ошибочно включить число, при котором формула не имеет смысла, например x = 0 для y = 12/x. Такое случается, если перечисляют возможные числа, не проверяя вычисления. Подставьте подозрительное значение в формулу и проверьте, можно ли выполнить все действия. Если появляется деление на ноль, это значение нужно исключить.
Чтобы находить значения функции, нужно уметь подставлять числа вместо букв и вычислять буквенные выражения. Например, вычисление f(4) по формуле сводится к такой подстановке с последующими действиями. Если арифметические действия выполняются аккуратно, легче заметить и ошибки со знаками или областью определения. Навык работы с функциями дальше помогает изучать графики, линейную функцию и разные способы описания зависимости между величинами.
Чем функция отличается от любой другой зависимости?
Функцией называют такую зависимость, в которой каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно одно значение зависимой переменной. Если одному аргументу соответствуют два разных значения, это не функция.
Что обозначает запись f(x)?
f обозначает правило, по которому аргументу ставят в соответствие значение. f(x) — это значение функции при аргументе x, а не умножение f на x.
Что такое аргумент функции?
Аргумент — независимая переменная, значение которой выбирают или задают. Обычно его обозначают буквой x; результат, который зависит от него, часто обозначают y.
Как найти значение функции при заданном аргументе?
Нужно подставить заданное значение аргумента вместо переменной в правило и выполнить вычисления. Если аргумент отрицательный, его удобно заключить в скобки, например (−3)².
Почему ноль не входит в область определения функции y = 12/x?
При x = 0 в формуле пришлось бы делить на ноль, а такое действие не определено. Поэтому для действительных значений аргумента область определения этой функции — все числа, кроме нуля.
12. Что такое функция
