§ 5. Функции и их графики

Определения и обозначения

Функция — это зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой. Например, если стоимость одного карандаша равна 8 рублям, то числу купленных карандашей соответствует одна общая стоимость. Это правило нужно, чтобы описывать зависимости, в которых результат однозначно определяется исходным значением.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x. Его значения выбирают из области определения функции, то есть из списка всех допустимых значений. Аргумент нужен, чтобы указать, для какого именно исходного значения мы ищем результат.

Значение функции — значение зависимой переменной y, которое получается при заданном аргументе. Запись y = f(x) читают так: y равно значению функции f при аргументе x. Она показывает, что результат зависит от выбранного x, и позволяет вычислять y по правилу функции.

График функции — множество точек координатной плоскости, абсцисса и ордината каждой из которых связаны данной функцией. Абсциссой называют первую координату точки, а ординатой — вторую. График помогает увидеть зависимость целиком, а не только для одного значения аргумента.

Как это устроено

Зависимость можно задать разными правилами. Например, количеству одинаковых предметов соответствует их общая стоимость, если цена одного предмета известна: стоимость равна цене, умноженной на количество. Но функция получается только тогда, когда каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно один результат. Если одному и тому же x по правилу соответствуют два разных y, это правило не задаёт функцию в принятом смысле.

Чтобы найти значение функции, заменяют аргумент в формуле заданным числом и выполняют вычисления. Например, для y = 3x − 2 при x = 4 вместо x записываем 4: y = 3 · 4 − 2 = 10. Подстановка важна потому, что формула задаёт общее правило, а конкретное значение аргумента позволяет получить определённый результат.

Область определения состоит из всех значений аргумента, для которых функция имеет смысл. Ограничение может возникнуть из условия задачи: например, количество предметов нельзя считать отрицательным, а иногда оно должно быть целым. Ограничение может следовать и из формулы: в выражении 12/x значение x = 0 запрещено, поскольку делить на ноль нельзя. Поэтому перед вычислениями проверяют, какие x допустимы.

График строят по парам значений (x; y), потому что каждая такая пара задаёт точку на координатной плоскости. Сначала выбирают несколько допустимых аргументов, затем вычисляют для каждого значение функции и записывают результат в таблицу. После этого отмечают точки, ставя x по горизонтальной оси, а y — по вертикальной. Несколько найденных точек помогают построить график, но сами по себе не всегда являются всем графиком: ему соответствуют и другие допустимые пары.

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику, используют её координаты. Для точки (a; b) подставляют a в формулу функции и сравнивают полученное значение с b. Если они равны, координаты точки удовлетворяют правилу функции. Такой способ надёжнее, чем пытаться определить принадлежность только по рисунку, где точность может быть ограничена.

Основные понятия о функции и её графике

Таблица помогает отличать аргумент от результата и быстро вспоминать, как обозначают каждое понятие. При решении задачи сначала выясни, какие значения x допустимы, затем найди соответствующие y. Если нужно построить график или проверить точку, используй пары координат (x; y).

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 3x − 2 найдите значение y при x = 4. Здесь аргумент уже задан, поэтому нужно получить результат по правилу функции. Важно подставить число вместо каждой буквы x, сохранив остальные действия и знаки.

1. Запишем формулу: y = 3x − 2.
2. Подставим x = 4: y = 3 · 4 − 2.
3. Выполним умножение и вычитание: y = 12 − 2 = 10.

Ответ: при x = 4 значение функции равно 10. Проверка состоит в том, чтобы убедиться, что число 4 подставлено именно вместо x. Результат 10 — это значение y, а не аргумент.

Задача 2. Функция задана формулой y = 12/x. Определите, какие из чисел −3, 0 и 4 входят в её область определения. Проверим по очереди, можно ли подставить каждое число в знаменатель. Единственное возможное препятствие здесь — деление на ноль.

1. Подставим x = −3: знаменатель не равен нулю, поэтому формула имеет смысл.
2. Подставим x = 0: получим деление 12 на 0, оно не определено.
3. Подставим x = 4: знаменатель не равен нулю, формула имеет смысл.

Ответ: числа −3 и 4 входят в область определения, а 0 не входит. Мы проверяли именно допустимость аргумента, а не значение y для каждого числа. Для этой формулы область определения включает все числа, кроме нуля.

Задача 3. Постройте график функции y = 2x + 1 для −2 ≤ x ≤ 2 и выясните, лежит ли точка (1; 3) на графике. Сначала найдём значения функции для нескольких аргументов из указанного промежутка. Затем полученные пары координат отметим на плоскости, а точку проверим подстановкой её абсциссы.

1. Выберем x = −2, −1, 0, 1, 2. По формуле получим значения y: −3, −1, 1, 3, 5.
2. Составим пары: (−2; −3), (−1; −1), (0; 1), (1; 3), (2; 5). Отметим их на координатной плоскости.
3. Проверим точку (1; 3): подставим её абсциссу 1 в формулу, получим y = 2 · 1 + 1 = 3.

Ответ: график строится по найденным парам; в заданном промежутке он является отрезком прямой. Точка (1; 3) принадлежит графику, потому что вычисленное значение совпало с её ординатой. При построении координаты всегда записывают в порядке (x; y).

Типичные ошибки

Ошибка — считать функцией любую зависимость, не проверяя однозначность результата. Её допускают, когда замечают связь между величинами, но не проверяют, что происходит при одном и том же аргументе. Для самопроверки спроси: каждому ли допустимому x соответствует ровно одно y? Если возможны два разных результата, функция так не задана.

Аргумент и значение функции — разные величины: x выбирают, а y получают по правилу. Иногда их путают и подставляют в формулу y вместо x или неверно понимают запись y = f(x). Проверь, что именно дано в условии, а затем подставь заданный аргумент на место x. Полученное число запиши как значение y.

Если забыть об области определения, можно использовать недопустимый аргумент. Например, для y = 12/x иногда включают x = 0, потому что не проверяют знаменатель. Перед вычислением проверь, при каких значениях формула имеет смысл, и учти ограничения условия задачи. Для дроби с x в знаменателе знаменатель не должен быть равен нулю.

При построении графика иногда переставляют координаты местами или считают, что несколько найденных точек и есть весь график. Это происходит, если забыть, что сначала записывают абсциссу, а потом ординату, или не учесть другие допустимые аргументы. Проверяй каждую пару подстановкой в формулу и помни: точки из таблицы показывают график, но могут не перечислять все его точки.

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужны навыки, которые уже встречались в математике: умение находить точку по координатам на плоскости, читать упорядоченную пару чисел и подставлять числа в буквенные выражения. Если эти действия вызывают затруднение, полезно повторить их на простых примерах. Они нужны, чтобы правильно вычислять значения и строить графики.

Понятие функции станет основой для изучения линейной функции и построения её графика. С его помощью можно исследовать, как меняется одна величина при изменении другой, и описывать зависимости в задачах. Например, формула может связывать время и расстояние или количество товаров и стоимость покупки.

Что запомнить

• В функции каждому допустимому аргументу соответствует ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, а значение функции — y.
• Запись y = f(x) указывает, что y зависит от x.
• Область определения — все допустимые значения аргумента.
• Точка графика функции имеет координаты (x; f(x)).
• Чтобы проверить, лежит ли точка на графике, подставь её абсциссу в формулу.