"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Функция описывает правило, по которому каждому допустимому значению одной величины соответствует ровно одно значение другой. Независимую величину называют аргументом, а полученный результат — значением функции. Функцию можно задать формулой, таблицей или графиком. Эти способы помогают вычислять значения, видеть зависимость величин и находить по графику как результат для заданного аргумента, так и аргумент для заданного результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция — зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Например, если каждому числу x по правилу прибавляют 1, результат однозначен. Это условие помогает отличать функцию от зависимости, в которой одному входному значению соответствуют разные результаты.
Аргумент функции — независимая переменная, значение которой выбирают или задают; обычно её обозначают x. Аргумент служит входным значением для правила функции. Зная его, можно определить, какое значение получится на выходе.
Значение функции — значение зависимой переменной, полученное для заданного аргумента; его записывают, например, f(2). Эта запись означает результат функции при x = 2, а не умножение f на 2. Обозначение позволяет точно указать, для какого аргумента найден результат.
Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. Она показывает, какие входные значения можно использовать. Без неё можно по ошибке подставить число, при котором формула не имеет смысла.
Чтобы зависимость была функцией, каждому аргументу должен отвечать только один результат. Если для одного и того же x правило допускает два разных значения y, нельзя однозначно определить значение функции. Например, правило «выбрать число, квадрат которого равен 4» даёт для одного результата два возможных числа, поэтому само по себе не задаёт функцию от результата к выбранному числу.
Формула задаёт правило вычисления, поэтому значение находят заменой аргумента на заданное число. Важно заменить переменную во всех местах и сохранить порядок действий. Например, для y = 2x + 1 при x = 3 получаем y = 2 · 3 + 1 = 7; именно так становится ясно, какой результат соответствует этому аргументу.
Область определения зависит и от смысла задачи, и от ограничений формулы. Если описывается время движения, отрицательное время обычно не подходит, даже если формула его допускает. В дроби, напротив, ограничение следует из самой формулы: знаменатель не может быть нулём, поскольку деление на ноль не определено.
График функции состоит из точек с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения. Первая координата точки показывает аргумент, вторая — соответствующее ему значение функции. Поэтому график наглядно собирает все пары входных и выходных значений, а не просто изображает отдельные числа.
Чтобы по графику найти значение функции, отметьте заданный x на горизонтальной оси и найдите точку графика над ним: её высота показывает y. Чтобы найти аргумент при заданном значении функции, отыщите это y на вертикальной оси и проследите до графика, а затем прочитайте x. Пересечений может быть несколько, поэтому иногда заданному значению y соответствуют разные аргументы.
| Способ | Что задано | Как найти значение функции | Пример |
|---|---|---|---|
| Формулой | Зависимость между аргументом и значением | Подставить аргумент в формулу | y = 2x + 1 |
| Таблицей | Пары значений аргумента и функции | Найти значение в строке таблицы | x: 0, 1; y: 1, 3 |
| Графиком | Точки, изображённые на координатной плоскости | Найти ординату точки графика с заданной абсциссой | График y = 2x + 1 |
Выбирайте способ чтения по тому, как задана функция: в формуле вычисляйте, в таблице находите соответствующую пару, на графике считывайте координаты точки. В таблице приведены значения для x = 0 и x = 1: им соответствуют y = 1 и y = 3. Если нужны значения, которых нет в таблице, используйте формулу или график, если они заданы.
Задача 1. Для функции y = 3x − 2 найдите значение y при x = 4. Здесь задан аргумент и правило, поэтому нужно подставить 4 вместо x. Не следует сначала складывать 3 и 4: умножение выполняется раньше вычитания.
Ответ: при x = 4 значение функции равно 10. Проверка проста: подстановка должна сохранить исходное правило, а вычисления — его порядок.
Задача 2. Найдите область определения функции y = (x + 1)/(x − 3). В выражении есть дробь, значит, знаменатель должен быть отличен от нуля. Числитель может быть равен нулю: это не мешает вычислить дробь.
Ответ: область определения — все числа, кроме 3. Подстановка x = 3 привела бы к делению на ноль, поэтому это значение включать нельзя.
Задача 3. По графику функции определите значение функции при x = 2 и найдите аргумент, при котором y = 1. Числовые данные нужно считывать с самого графика: сначала определить нужную координату, а затем посмотреть на соответствующую точку. В данном задании график не приведён, поэтому конкретные числа нельзя назвать; можно точно описать способ чтения.
Ответ: f(2) — ордината точки графика с абсциссой 2; искомые аргументы — абсциссы точек графика с ординатой 1. Если горизонтальная прямая y = 1 пересекает график несколько раз, подходят все найденные абсциссы.
Ошибка — считать любую зависимость функцией, не проверив, сколько результатов соответствует одному аргументу. Так бывает, когда замечают связь величин, но забывают про требование единственности. Проверьте каждый вход: если для него возможны два разных выхода, зависимость не является функцией.
Аргумент и значение функции иногда путают, потому что оба обозначают числа. Но x — входное значение, а f(x) — результат после применения правила. Для самопроверки прочитайте f(2) словами: это значение функции при аргументе 2.
При вычислении по формуле можно подставить число не во все вхождения переменной или нарушить порядок действий. Обычно так происходит из-за спешки или невнимательного чтения выражения. Перед вычислением перепишите формулу с подстановкой, а затем отдельно проверьте умножение, сложение и вычитание.
Нельзя включать в область определения значения, при которых формула теряет смысл, например обращает знаменатель в нуль. Ошибка возникает, если смотреть только на перечень чисел и не проверять само выражение. Подставьте исключённое значение в исходную формулу: если появляется деление на ноль, оно недопустимо.
Для работы с функциями нужны координатная плоскость и упорядоченные пары: координаты точки помогают увидеть, какое значение y отвечает аргументу x. Также пригодится подстановка чисел в выражения, потому что по формуле значение функции получают именно вычислением. Если эти умения пока вызывают затруднения, полезно сначала повторить чтение координат и порядок действий.
Функции и графики станут основой для изучения линейной функции: её формулу можно представить прямой на координатной плоскости. Графики помогают также разбирать системы уравнений и решать уравнения графически. В этих задачах важно понимать, что координаты точки показывают значения переменных, удовлетворяющие нужным условиям.
Чем аргумент функции отличается от значения функции?
Аргумент — это входное значение, которое обычно обозначают x. Значение функции — результат, который получается для этого аргумента и записывается, например, f(x) или y.
Как проверить, является ли заданная зависимость функцией?
Проверьте, что каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно одно значение зависимой величины. Если для одного аргумента возможны два разных результата, такая зависимость не является функцией.
Как найти значение функции по формуле?
В формуле замените аргумент заданным числом во всех местах, где встречается переменная. Затем выполните вычисления с учётом порядка действий.
Как определить область определения функции?
Нужно установить, какие значения аргумента допустимы по условию задачи и формуле. Например, в дроби знаменатель не должен быть равен нулю.
Как по графику найти значение функции?
Найдите на горизонтальной оси заданное значение x и проведите мысленно вертикаль до графика. Ордината точки пересечения и есть значение функции; чтобы найти аргумент для заданного y, действуйте наоборот.
§ 14. Функции и их графики
