§ 1. Функции и их графики

Определения и обозначения

Функция — соответствие, при котором каждому значению аргумента из заданного множества соответствует ровно одно значение функции. Аргумент обычно обозначают x, а соответствующее ему значение — f(x) или y. Это условие позволяет однозначно находить результат для каждого допустимого аргумента и отличает функцию от произвольной зависимости.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. Её часто обозначают D(f). Это множество показывает, какие значения x можно подставлять в формулу или искать на графике, не нарушая условий задания функции.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает при аргументах из области определения. Его можно обозначать E(f). Оно описывает возможные результаты y и помогает понять, например, какие значения зависимая величина вообще может принимать.

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения. В каждой такой точке первая координата — аргумент, а вторая — значение функции. График нужен, чтобы наглядно представлять зависимость и считывать её значения и свойства.

Как это устроено

Одному аргументу должно соответствовать ровно одно значение, иначе правило не задаёт однозначного результата. Например, если при одном и том же x получаются два разных y, нельзя определить, какое из них считать значением функции. При этом разные аргументы могут давать одинаковое значение: условие однозначности этого не запрещает.

Формула может быть определена не при всех действительных x, поэтому ограничения проверяют до вычислений. Делить на ноль нельзя, значит, корни знаменателя нужно исключить из области определения. У корня чётной степени в действительных числах подкоренное выражение должно быть неотрицательным, иначе значение формулы не будет действительным. Полученные условия объединяют и находят их общие решения.

График функции не может содержать две точки с одной абсциссой и разными ординатами: они означали бы два результата для одного аргумента. Поэтому график проверяют вертикальными прямыми: если хотя бы одна такая прямая пересекает кривую дважды, это не график функции. Одно пересечение или отсутствие пересечения для каждой вертикальной прямой условию не противоречит.

По формуле область определения находят из ограничений на x, а множество значений — исследуя, какие результаты получаются при всех допустимых x. По графику область определения читают по горизонтальной оси: берут абсциссы точек графика. Множество значений читают по вертикальной оси, рассматривая все ординаты графика; важно учитывать, включены ли крайние точки.

Координаты точки графика связаны равенством y = f(x): подставленный аргумент даёт ординату. Чтобы проверить точку (a; b), сначала убеждаются, что a входит в область определения, затем вычисляют f(a) и сравнивают результат с b. Если значения совпали, точка принадлежит графику; если нет — не принадлежит.

Как описать функцию по формуле и графику

Пользуйтесь таблицей как планом исследования: сначала выясните, какие x допустимы, затем определите возможные y. Если функция задана графиком, проекции на оси помогают прочитать область определения и множество значений. Для проверки точки всегда сопоставляйте обе координаты с формулой.

Разбор задач

Задача 1. Найдите область определения функции f(x) = √(5 − 2x).

Под корнем стоит выражение чётной степени, поэтому оно должно быть неотрицательным. Это условие ограничивает аргумент, а других ограничений в формуле нет.

1. Запишем условие: 5 − 2x ≥ 0.
2. Перенесём 5: −2x ≥ −5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется, поэтому x ≤ 5/2.
3. Запишем все подходящие значения: D(f) = (−∞; 5/2]. Граница включена, поскольку при x = 5/2 под корнем получается ноль.

Ответ: D(f) = (−∞; 5/2].

Задача 2. Для f(x) = x² − 4 найдите область определения, множество значений и нули, затем постройте график.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Квадрат определён при любом действительном x, а минимальное значение x² равно нулю; эти свойства сразу помогают найти область определения и множество значений.

1. Ограничений на x нет, поэтому D(f) = ℝ.
2. Так как x² ≥ 0, имеем x² − 4 ≥ −4. Значение −4 достигается при x = 0, значит, E(f) = [−4; +∞).
3. Нули найдём из x² − 4 = 0: (x − 2)(x + 2) = 0, откуда x = −2 или x = 2. Это абсциссы пересечений с осью Ox.
4. Строим параболу, направленную ветвями вверх: её вершина (0; −4), ось симметрии — Oy, нули — точки (−2; 0) и (2; 0).

Ответ: D(f) = ℝ, E(f) = [−4; +∞), нули −2 и 2; график — указанная парабола.

Задача 3. Точка A(3; 7) принадлежит графику f(x) = 2x + 1. Определите, принадлежит ли ему B(−2; −3).

Для точки A подстановка даёт f(3) = 2 · 3 + 1 = 7, поэтому её ордината совпадает со значением функции. Для точки B проверим тем же способом, не перенося автоматически вывод о первой точке на вторую.

1. Подставим абсциссу B: f(−2) = 2 · (−2) + 1 = −3.
2. Сравним результат с ординатой точки B: она тоже равна −3.

Ответ: B(−2; −3) принадлежит графику, поскольку её координаты удовлетворяют равенству y = 2x + 1.

Типичные ошибки

Считать областью определения все действительные числа, не проверив формулу, — ошибка: некоторые значения могут обнулить знаменатель или сделать подкоренное выражение отрицательным. Её часто допускают, потому что смотрят на x² или другие привычные части выражения, не проверяя всю формулу. Перед вычислениями отдельно выпишите ограничения и подставьте в них граничные значения, чтобы убедиться, что условия выполнены.

Область определения и множество значений иногда путают, поскольку оба множества связаны с одной функцией. Но первая содержит допустимые x, а второе — соответствующие результаты y. Проверяйте обозначения по осям: область определения читают по горизонтальной, множество значений — по вертикальной.

Не всякую кривую на плоскости можно считать графиком функции: у одной абсциссы могут оказаться две ординаты. Ошибка возникает, когда форму кривой оценивают на глаз, не проверяя однозначность. Проведите мысленно вертикальную прямую через разные значения x: если она пересекает кривую более одного раза, это не график функции.

При проверке точки нельзя смотреть только на одну координату: совпадение x ещё не гарантирует нужного y. Так ошибаются, если подставляют абсциссу, но не сравнивают вычисление с ординатой, либо забывают про область определения. Проверьте оба условия: аргумент допустим, и равенство y = f(x) выполняется.

Связь с другими темами

Для изучения функций нужны навыки работы с координатной плоскостью, числовыми промежутками, уравнениями и неравенствами: они помогают читать графики и находить допустимые значения аргумента. Область определения и множество значений понадобятся при исследовании свойств функций, пределов и производной. Графики также используют при решении уравнений и неравенств и при анализе прикладных зависимостей, например связи времени и пройденного пути.

Что запомнить

• Каждому допустимому аргументу функция ставит в соответствие ровно одно значение.
• Область определения содержит допустимые значения x.
• Множество значений содержит значения y, которые принимает функция.
• Точка (x; y) принадлежит графику тогда и только тогда, когда y = f(x).
• График функции не может иметь две точки с одинаковой абсциссой и разными ординатами.
• Ограничения формулы необходимо учитывать до вычисления значений функции.