1.1. Элементарные функции

Определения и обозначения

Элементарная функция — функция, которую получают из основных функций конечным числом арифметических операций и суперпозиций. Арифметические операции — сложение, вычитание, умножение и деление, а суперпозиция означает подстановку одной функции в другую. Это понятие помогает объединить множество знакомых формул в один класс и распознавать сложные выражения как построенные по определённым правилам.

Основные элементарные функции — степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Примеры: x², 2ˣ, log₂x, sin x и arctg x. Они служат исходными «строительными деталями»: сочетая их, можно задавать функции, которые описывают более сложные зависимости.

Алгебраическая функция связана с аргументом арифметическими действиями и извлечением корней. Например, √(x² + 1) получена из x² с помощью сложения и квадратного корня. Такое различение нужно, чтобы понимать, какие операции лежат в основе функции и к какому классу она относится.

Трансцендентная функция — элементарная функция, которая не является алгебраической. К трансцендентным относятся показательные и логарифмические функции, а также тригонометрические функции, например eˣ, ln x и cos x. Значит, «элементарная» и «алгебраическая» — не синонимы: первое понятие охватывает более широкий класс.

Как это устроено

Элементарные функции образуют широкий класс, потому что к исходным семействам разрешено применять несколько способов построения. Если две функции уже известны, можно получить их сумму, разность, произведение или частное там, где делитель не равен нулю. Можно также подставить одну функцию в другую. Поэтому формула сложной функции часто читается как последовательность простых действий.

Суперпозиция показывает, как одна функция становится аргументом другой. Например, в sin(x²) внешней функцией является синус, а внутренней — функция x²: сначала каждому x ставят в соответствие x², затем от полученного значения берут синус. Такой разбор полезен, потому что раскрывает структуру записи и помогает правильно находить область определения и исследовать изменения функции.

Область определения составной функции зависит от каждого шага её построения. Внутреннее выражение должно быть определено, а его значение должно подходить внешней функции: для ln(g(x)) необходимо g(x) > 0, для √g(x) — g(x) ≥ 0. У дроби знаменатель не может обращаться в ноль, а у tg x исключаются точки, в которых cos x = 0. Поэтому ограничения проверяют не по одному только внешнему знаку, а по всей формуле.

Алгебраические и трансцендентные функции различаются способом построения. Если используются только арифметические действия и извлечение корней, функция относится к алгебраическим; появление показательной, логарифмической или тригонометрической функции указывает на трансцендентную часть. Например, √(x² + 1) алгебраическая, а eˣ + √(x² + 1) — трансцендентная элементарная, поскольку в ней присутствует eˣ.

Одна и та же функция может быть представлена разными формулами, но формулы не всегда задают одинаковые функции. Например, x/x совпадает со значением 1 только при x ≠ 0, тогда как постоянная функция 1 определена и при x = 0. Если забыть о запрете деления на ноль, можно ошибочно объявить эти записи равными как функции. Поэтому сравнивают и значения, и области определения.

Основные элементарные функции и их классификация

В таблице сначала найдите семейство, к которому относится каждая часть формулы, а затем объедините её ограничения. Если функция составная, проверяйте не только допустимые значения аргумента внешней функции, но и то, где определена внутренняя. Так можно избежать пропущенных точек и неверной классификации.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли f(x) = √(x² + 1) элементарной и найти её область определения.

1. Выражение x² задаёт степенную функцию, затем к нему прибавляется 1 и извлекается квадратный корень. Все эти действия разрешены при построении элементарных функций.
2. Для квадратного корня требуется x² + 1 ≥ 0. Поскольку x² ≥ 0 при любом действительном x, сумма x² + 1 всегда положительна.
3. Следовательно, ограничений на x не возникает, и область определения — все действительные числа.

Ответ: функция элементарная, D(f) = ℝ.

Задача 2. Представить f(x) = ln(1 + sin x) как суперпозицию основных функций и найти область определения.

1. Сначала вычисляется sin x, затем к его значению прибавляется 1, после чего от результата берётся натуральный логарифм. Это последовательное применение тригонометрической функции, сложения и логарифма.
2. Синус определён при каждом действительном x, но аргумент логарифма должен быть строго положительным. Значит, нужно решить неравенство 1 + sin x > 0, то есть sin x > −1.
3. Синус равен −1 при x = −π/2 + 2πk, где k ∈ Z. Эти точки исключаются, а во всех остальных точках неравенство выполняется.

Ответ: f(x) = ln(1 + sin x) — суперпозиция sin x, сложения с 1 и ln; D(f) = ℝ {−π/2 + 2πk | k ∈ Z}.

Задача 3. Определить, является ли f(x) = e^(x²) + arctg(√(x − 1)) алгебраической или трансцендентной элементарной функцией, и найти область определения.

1. В первом слагаемом квадрат x² подставлен в показатель экспоненты, поэтому e^(x²) — трансцендентная элементарная функция. Во втором слагаемом сначала извлекается корень, а затем берётся arctg; эта часть также элементарна.
2. Для √(x − 1) необходимо x − 1 ≥ 0, откуда x ≥ 1. Функция arctg определена при любом действительном аргументе, поэтому дополнительных ограничений она не добавляет.
3. Сумма определена там, где определены оба слагаемых. Так как экспонента определена при любом действительном показателе, остаётся условие x ≥ 1.

Ответ: функция трансцендентная элементарная, D(f) = [1; +∞).

Типичные ошибки

Считать любую запись с формулой элементарной — ошибка: само наличие формулы не доказывает, что функцию можно построить из основных элементарных функций разрешёнными действиями. Так думают, потому что знакомые символы выглядят как готовое правило вычисления. Проверяйте структуру: перечислите исходные функции и операции, с помощью которых получена запись.

Элементарность не означает алгебраичность. Показательные, логарифмические и тригонометрические функции элементарны, но трансцендентны; смешение терминов приводит к неверной классификации. Чтобы проверить себя, спросите, встречаются ли в построении показательная, логарифмическая или тригонометрическая функция, а не только арифметические действия и корни.

При композиции иногда проверяют лишь внешнюю функцию и забывают о внутренней. Например, у ln(√(x − 1)) недостаточно потребовать положительность аргумента логарифма: ещё нужно, чтобы корень существовал. Разберите запись по шагам и запишите ограничения для каждого шага, после чего найдите их пересечение.

Разные формулы не обязательно задают одну и ту же функцию, даже если дают одинаковые значения там, где обе вычисляются. Ошибка возникает, когда сравнивают только значения и не замечают исключённые аргументы. Для проверки выпишите область определения каждой записи: например, x/x и 1 совпадают при x ≠ 0, но первая формула не определена при нуле.

Связь с другими темами

Для работы с элементарными функциями нужны понятия функции, области определения и множества значений, а также знание основных числовых и тригонометрических функций. Представление формулы как композиции пригодится при преобразовании графиков и изучении пределов. Оно же помогает разбирать сложные функции при изучении производных. Различение алгебраических и трансцендентных функций даёт ориентир в классах функций, которые встречаются в дальнейшем курсе анализа.

Что запомнить

• Элементарные функции строят из основных элементарных функций.
• При построении используют арифметические операции и суперпозицию.
• Суперпозиция означает подстановку одной функции в аргумент другой.
• Элементарная функция не обязательно является алгебраической.
• Область определения зависит от всех операций и функций в записи.
• При сравнении функций важно учитывать их области определения.