1.2. Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции

Определения и обозначения

Область определения функции D(f) — множество всех допустимых значений аргумента x, при которых функция имеет смысл. Например, в выражении с дробью нельзя подставлять значение, обращающее знаменатель в нуль. Это понятие нужно, чтобы понимать, для каких x функцию вообще разрешено вычислять.

Область изменения функции E(f) — множество всех значений y, которые функция принимает на своей области определения. Для каждого допустимого x вычисляют y = f(x), но разные x могут дать одинаковое y. Область изменения нужна, чтобы описать весь набор возможных результатов работы функции.

Верхняя граница функции — число, не меньшее каждого значения функции, а нижняя граница — число, не большее каждого её значения. Иными словами, если f(x) ≤ A для всех допустимых x, то A — верхняя граница; если f(x) ≥ B, то B — нижняя. Такие числа позволяют оценивать значения функции, даже если их нельзя перечислить по одному.

Ограниченная функция имеет одновременно верхнюю и нижнюю границы. Это равносильно тому, что найдётся число M > 0, для которого |f(x)| ≤ M при всех x из области определения. Понятие помогает выяснить, остаются ли значения функции в конечных пределах и могут ли они неограниченно расти или убывать.

Как это устроено

Область определения задают условия, при которых выражение f(x) существует как число. Делить на ноль нельзя, поэтому каждый знаменатель должен быть отличен от нуля; чётный корень из отрицательного числа не имеет значения в действительных числах, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Логарифм определён только для положительного аргумента. Все ограничения нужно объединить: допустимы лишь те x, которые удовлетворяют им одновременно.

Чтобы найти область изменения, нужно выяснить, какие результаты y действительно получаются при допустимых x. Иногда равенство y = f(x) преобразуют и исследуют, существует ли для выбранного y подходящий x; иногда помогают свойства знакомых функций или преобразование выражения. Если функция задана на отрезке, часто достаточно найти её наибольшее и наименьшее значения. При этом учитывают и поведение внутри промежутка, и его концы.

На графике каждой точке соответствует пара координат (x; y). Поэтому проекция графика на горизонтальную ось показывает абсциссы, то есть область определения, а проекция на вертикальную — ординаты, то есть область изменения. Эти множества легко перепутать, если смотреть только на положение кривой: например, график может тянуться далеко вправо, но принимать значения y лишь в узкой полосе.

Функция ограничена сверху, если можно указать число A, такое что f(x) ≤ A для всех допустимых x; ограничена снизу, если найдётся B, для которого f(x) ≥ B. Эти свойства независимы: функция может иметь только одну из двух границ. Например, y = x² не опускается ниже нуля, но может принимать сколь угодно большие значения. Чтобы назвать функцию ограниченной, нужно подтвердить наличие обеих границ.

Для доказательства ограниченности достаточно предъявить подходящие числа A и B и проверить неравенства для всех x из области определения. Для доказательства неограниченности нужно показать, что значения можно сделать сколь угодно большими по модулю, выбирая допустимые x. Недостаточно проверить несколько отдельных точек: они не доказывают свойство на всей области. График или преобразование выражения могут подсказать доказательство, но условия должны выполняться для каждого допустимого аргумента.

Для синуса область определения — все действительные числа, а значения всегда лежат между −1 и 1 включительно. Поэтому функция ограничена и сверху, и снизу, хотя график продолжается бесконечно по оси x. На приведённом фрагменте видно, что кривая не пересекает горизонтальные прямые y = 1 и y = −1, но достигает их. Сам рисунок показывает только часть графика, а не всю область определения.

Область определения, область изменения и ограниченность основных функций

Сначала сравните области определения: запрет x = 0 у функции 1/x связан с формулой, а не с поведением графика в целом. Затем посмотрите на область изменения и установите, есть ли у значений верхняя и нижняя границы. Обозначение R означает множество всех действительных чисел.

Разбор задач

Область определения дроби с корнем

Найдём область определения f(x) = √(5 − 2x)/(x − 1). Корень требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля. Объединяем оба условия, не забывая, что должны выполняться они одновременно.

1. Записываем условие для корня: 5 − 2x ≥ 0, откуда x ≤ 5/2.
2. Записываем условие для знаменателя: x − 1 ≠ 0, то есть x ≠ 1.
3. Пересекаем найденные множества: берём все x не больше 5/2, кроме единицы.

Ответ: D(f) = (−∞; 1) ∪ (1; 5/2]. Точка 5/2 входит в область определения, потому что при ней корень равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Область определения и изменения сокращаемой дроби

Исследуем f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Сначала определяем допустимые x по исходной дроби и только после этого упрощаем выражение. Это важно, потому что преобразование не возвращает значение, при котором исходная формула не существовала.

1. Знаменатель x − 1 не должен равняться нулю, значит, x ≠ 1 и D(f) = R без {1}.
2. Разложим числитель: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). При x ≠ 1 сокращаем дробь и получаем f(x) = x + 1.
3. Линейная функция x + 1 принимает все действительные значения, если x пробегает R. Но x = 1 исключён, и именно при нём получилось бы y = 2; значит, значение 2 функция не принимает.

Ответ: D(f) = R без {1}, E(f) = R без {2}. Проверка: для любого y ≠ 2 можно взять x = y − 1, и это значение x не равно 1.

Область изменения на отрезке

Найдём область изменения f(x) = x² − 4x + 1 на отрезке [−1; 5] и проверим ограниченность. Квадратичная функция имеет минимум или максимум в вершине, поэтому сначала выделим полный квадрат, а затем проверим, попадает ли вершина на отрезок. Чтобы не пропустить крайние значения, сравним результат в вершине со значениями на концах.

1. Преобразуем выражение: x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 3. Вершина находится при x = 2 и лежит внутри отрезка.
2. В вершине квадрат равен нулю, поэтому f(2) = −3. Это наименьшее значение, так как (x − 2)² ≥ 0.
3. На концах отрезка f(−1) = 6 и f(5) = 6. Квадрат на отрезке не превышает 9, поэтому значения функции не больше 6.

Ответ: E(f) = [−3; 6]. Функция ограничена снизу числом −3 и сверху числом 6; обе границы достигаются на данном отрезке.

Типичные ошибки

Сокращают дробь и забывают исходное ограничение. После сокращения кажется, будто исчезнувший множитель отменил запрет на нулевой знаменатель, но упрощение не меняет область определения исходной формулы. Поэтому сначала выпишите значения, запрещённые знаменателем, и сохраните их исключёнными до конца решения. Для проверки подставьте подозрительное значение в исходную, а не только в сокращённую формулу.

Путают область определения и область изменения. Такое случается, когда обозначения x и y не связывают с конкретными осями или вопросом задачи. Проверка проста: D(f) перечисляет допустимые аргументы, а E(f) — результаты вычислений. На графике первые читаются по горизонтальной оси, вторые — по вертикальной.

Считают функцию ограниченной, обнаружив только одну границу. Например, неотрицательность x² доказывает ограниченность снизу, но ничего не говорит о существовании верхней границы. Ошибка возникает из-за смешения выражений «ограничена снизу» и «ограничена». Для последнего нужно отдельно предъявить верхнюю и нижнюю границы.

Указывают точку достижения границы, не проверив, допустима ли она. При поиске экстремума на отрезке можно забыть, что точка исключена из области определения, или принять её за разрешённую только потому, что она является концом промежутка. Перед подстановкой проверьте точку по исходной формуле и условию задачи. Если точка не входит в область определения, значение в ней не может быть достигнуто.

Связь с другими темами

Чтобы находить область определения, нужны правила действий с дробями, корнями и логарифмами, а также умение читать графики. Эти навыки помогают не допускать запрещённых подстановок и верно интерпретировать оси. Область изменения и ограниченность используются при построении и исследовании графиков, поиске экстремумов, решении уравнений и неравенств. Позже они понадобятся при изучении производной, интеграла и обратных функций.

Что запомнить

• D(f) состоит из всех допустимых значений аргумента x.
• E(f) состоит из всех реально получаемых значений функции y.
• Ограниченность сверху и снизу — разные свойства.
• Функция ограничена, если существует M > 0: |f(x)| ≤ M.
• Запреты в формуле определяют область определения, но не всегда ограничивают область изменения.
• При поиске области изменения нужно учитывать всю область определения функции.
• График помогает увидеть область определения по абсциссам, а область изменения — по ординатам.