"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Чётность, нечётность и периодичность показывают, как значения функции связаны при отражении аргумента или его сдвиге. Эти свойства помогают узнавать симметрию графика, сокращать исследование функции и работать с тригонометрическими выражениями. Для проверки чётности сравнивают f(−x) с f(x), для нечётности — с −f(x), а для периода проверяют повторение значений при сдвиге на одно и то же ненулевое число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция называется чётной, если для каждого x из области определения выполняется f(−x) = f(x). Область определения при этом должна содержать вместе с x и число −x, то есть быть симметричной относительно нуля. Такое условие позволяет сравнивать значения функции на противоположных аргументах. Оно также указывает на симметрию графика относительно оси ординат.
Функция называется нечётной, если для каждого x из области определения выполняется f(−x) = −f(x). Как и в случае чётности, область определения должна быть симметрична относительно нуля. Значения при противоположных аргументах отличаются знаком, поэтому график имеет симметрию относительно начала координат. Проверка этого равенства помогает распознать нечётность, даже если форму графика трудно оценить.
Число T ≠ 0 называют периодом функции, если f(x + T) = f(x) для всех x, для которых сравнение имеет смысл. При сдвиге аргумента на T значение функции не меняется, поэтому её значения повторяются. Это определение относится не к отдельным точкам, а ко всей области, подходящей для такого сдвига. Период показывает, через какой шаг повторяется поведение функции.
Функция называется периодической, если у неё есть хотя бы один ненулевой период. Если среди положительных периодов существует наименьший, его называют основным периодом. Это понятие помогает отличить минимальный шаг повторения от любого более крупного шага. Например, если T — период, то 2T тоже период, но обычно не основной.
Проверку чётности и нечётности начинают с области определения, потому что формулы требуют вычислить функцию и при x, и при −x. Если для какого-то x значение f(−x) не существует, сравнение нельзя провести для всех аргументов области определения. Поэтому отсутствие симметрии сразу исключает оба свойства. Эта проверка избавляет от лишних преобразований выражения.
Равенство f(−x) = f(x) означает, что точкам графика (x; f(x)) соответствуют точки (−x; f(x)). Они находятся на одинаковой высоте и на одинаковом расстоянии от оси ординат, но по разные стороны от неё. Поэтому график чётной функции отражается сам в себя относительно этой оси. Условие f(−x) = −f(x) связывает точки (x; f(x)) и (−x; −f(x)); они переходят друг в друга при повороте вокруг начала координат на 180°.
Чтобы установить период T, подставляют x + T вместо аргумента и проверяют, получается ли исходная функция. Равенство должно выполняться для всех допустимых x, а не только для выбранных чисел: совпадение в нескольких точках ещё не доказывает общего повторения. При работе с областью определения важно убедиться, что сдвинутый аргумент также позволяет вычислить функцию. Так проверяют, что период действительно повторяет всю функцию.
Если T — период, то сдвиг на 2T, 3T и другие целые кратные тоже возвращает то же значение; отрицательные кратные также дают периоды. Но период не обязательно основной: например, функция с основным периодом T имеет также период 2T. Чтобы назвать период основным, нужно исключить все меньшие положительные периоды. Иногда такой наименьший период существует, а иногда у функции его нет.
Синус и косинус показывают, что периодичность не определяет чётность. Из тождества sin(−x) = −sin x следует, что синус нечётный, а из cos(−x) = cos x — что косинус чётный. При этом обе функции повторяют значения через 2π, поэтому имеют период 2π. На графике это видно как симметрия каждой кривой и повторение её формы.
| Свойство | Чётная функция | Нечётная функция | Периодическая функция |
|---|---|---|---|
| Условие | f(−x) = f(x) | f(−x) = −f(x) | f(x + T) = f(x), T ≠ 0 |
| Требование к области определения | Симметрична относительно нуля | Симметрична относительно нуля | Сдвиг на период должен позволять сравнить значения на всей области |
| Геометрическая интерпретация | Симметрия относительно оси ординат | Симметрия относительно начала координат | Повторение графика при сдвиге вдоль оси x |
| Пример | cos x | sin x | sin x, период 2π |
| Что проверять при поиске свойства | Область определения и f(−x) = f(x) | Область определения и f(−x) = −f(x) | Равенство f(x + T) = f(x) для всех допустимых x |
Пользуйтесь таблицей как последовательностью проверок: сначала выясните, какое свойство требуется найти, затем проверьте область определения и нужное равенство. Геометрическую интерпретацию удобно использовать для контроля по графику, но вычислительное доказательство должно относиться ко всем аргументам. Для периодичности отдельно проверьте, является ли найденный период основным.
Определите, является ли функция f(x) = x⁴ + 2 чётной, нечётной или ни той ни другой. Сначала проверим область определения: это все действительные числа, и вместе с каждым x в неё входит −x. Затем сравним выражения по определениям, чтобы не делать вывод только по внешнему виду формулы. Такая последовательность позволяет обоснованно выбрать один из трёх вариантов.
Подставим −x вместо x: f(−x) = (−x)⁴ + 2 = x⁴ + 2. Четвёртая степень убирает знак минус, поэтому полученное выражение совпало с f(x). Следовательно, функция чётная.
Проверим, может ли функция быть нечётной: −f(x) = −x⁴ − 2. Это выражение не равно x⁴ + 2 при всех x. Значит, функция нечётной не является.
Ответ: функция чётная. Условие нечётности не выполняется.
Определите чётность функции f(x) = x/(x² + 1). Знаменатель x² + 1 положителен при любом действительном x, поэтому область определения — все действительные числа и она симметрична относительно нуля. Теперь подстановка −x покажет, какое из двух равенств выполняется. Знаменатель при такой подстановке сохраняет вид, а числитель меняет знак.
Вычислим f(−x): f(−x) = (−x)/((−x)² + 1) = −x/(x² + 1). Квадрат аргумента равен x², поэтому знаменатель не изменился. Полученное выражение равно −f(x).
Сравним результат с f(x): при общем случае x выражения −x/(x² + 1) и x/(x² + 1) не равны. Значит, функция не чётная, зато выполняет условие нечётности. Проверка использует именно равенство формул, а не отдельный пример.
Ответ: функция нечётная.
Найдите основной период функции f(x) = sin 2x + cos 2x. У каждого слагаемого период π: при сдвиге аргумента x на π аргумент синуса и косинуса увеличивается на 2π. Поэтому π — период суммы, но из этого ещё не следует, что он основной. Нужно проверить, не повторяется ли сумма при меньшем положительном сдвиге.
Используем формулу синуса суммы: sin 2x + cos 2x = √2 sin(2x + π/4). В результате видно, что изменение x на π увеличивает аргумент синуса на 2π и возвращает значение. Значит, π является периодом исходной функции.
Сдвиг x на T изменяет аргумент синуса на 2T. Для синусоиды √2 sin(2x + π/4) наименьший положительный сдвиг её аргумента, сохраняющий значения при всех x, равен 2π. Следовательно, наименьший положительный сдвиг x равен π, меньшего положительного периода нет.
Ответ: основной период равен π.
Объявлять функцию чётной или нечётной, не проверив область определения. Так делают, когда сразу подставляют −x в формулу и не замечают, что нужного значения может не существовать. Перед вычислениями проверьте, что вместе с каждым x в области есть −x.
Подставлять −x только в часть выражения или терять знак при раскрытии скобок. Ошибка возникает, когда преобразуют числитель, забывая о знаменателе, степени или внешнем минусе. Подставьте −x во все места формулы и затем отдельно сравните результат с f(x) и −f(x).
Считать равенство f(x + T) = f(x) для нескольких значений доказательством периодичности. Отдельные совпадения могут быть случайными, потому что определение требует равенства на всей области. Проверьте выражение алгебраически для произвольного x и учитывайте допустимость обоих аргументов.
Называть любой найденный период основным. Например, у функции с периодом T периоды 2T и 3T тоже подходят, но они не являются наименьшими. Для основного периода нужно обосновать, что меньшего положительного периода нет.
Чтобы исследовать чётность, нужны понятия области определения и подстановки аргумента в формулу. Геометрический смысл опирается на знакомые виды симметрии графиков: относительно оси и относительно начала координат. Эти свойства помогают сократить исследование функций и упростить построение графиков, рассматривая только часть графика и восстанавливая остальное симметрией.
Периодичность особенно важна при изучении тригонометрических функций: она объясняет повторение значений и помогает решать уравнения. Знание периода позволяет ограничить поиск решений одним промежутком, а затем учесть повторение. Сочетание чётности и периодичности также помогает преобразовывать выражения и проверять ответы.
Может ли функция быть одновременно чётной и нечётной?
Да, если функция равна нулю на всей своей области определения, она удовлетворяет обоим условиям: f(−x) = f(x) и f(−x) = −f(x). Например, нулевая функция является и чётной, и нечётной. Для ненулевой функции на симметричной области это невозможно.
Почему для чётности и нечётности важна область определения?
Чтобы сравнить f(x) и f(−x), оба значения должны быть определены. Поэтому вместе с каждым x область определения должна содержать −x. Если симметрии нет, функция не может быть чётной или нечётной.
Как по графику понять, что функция нечётная?
Проверьте, сохраняется ли график при повороте на 180° вокруг начала координат. Для каждой точки (x; y) на графике должна находиться точка (−x; −y). Такая симметрия соответствует равенству f(−x) = −f(x).
Если число T — период функции, обязательно ли оно является основным?
Нет. Периодом может быть любое ненулевое число, после сдвига на которое значения функции повторяются. Основным называют только наименьший положительный период, если такой существует.
Как найти основной период суммы периодических функций?
Сначала находят периоды слагаемых и проверяют, есть ли у них общий положительный период. Затем выясняют, не повторяется ли вся сумма при меньшем сдвиге: периоды отдельных слагаемых не всегда сразу дают основной период суммы. Полезно преобразовать выражение и проверить равенство f(x + T) = f(x).
1.3. Четность, нечетность, периодичность функций
