"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Свойства функции помогают понять, как меняются её значения и где они положительны или отрицательны. Возрастание и убывание устанавливают сравнением значений функции на всём промежутке, а нули находят из уравнения f(x) = 0. На графике нули — пересечения с осью Ox, а знак определяется тем, выше или ниже этой оси проходит график. Эти сведения нужны для исследования функций, построения графиков и решения уравнений и неравенств.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция возрастает на промежутке, если для любых x₁ и x₂ из него условие x₁ < x₂ влечёт f(x₁) < f(x₂). Иными словами, большему аргументу соответствует большее значение функции. Это определение позволяет описывать изменение функции не по отдельным наблюдениям, а на всём промежутке.
Функция убывает на промежутке, если для любых x₁ и x₂ из него из x₁ < x₂ следует f(x₁) > f(x₂). Значит, при движении аргумента в сторону увеличения значения функции становятся меньше. Понятие убывания помогает указать участки, на которых график направлен вниз слева направо.
Промежуток знакопостоянства — участок области определения, где функция сохраняет один знак. На положительном промежутке выполняется f(x) > 0, а на отрицательном — f(x) < 0. Различать эти случаи нужно, например, чтобы правильно записывать решения неравенств.
Нуль функции — значение аргумента x, при котором f(x) = 0. Поэтому нули находят как корни уравнения f(x) = 0, а на графике они соответствуют абсциссам точек пересечения с осью Ox. Нуль функции не обязательно равен нулю: это именно такое значение x, при котором значение функции обращается в ноль.
Для определения возрастания или убывания сравнивают значения функции при любых двух аргументах промежутка, потому что одно удачное сравнение не описывает поведение на всём участке. График может подниматься, затем опускаться, поэтому выбранные точки способны показать только один его фрагмент. Определение требует, чтобы нужное соотношение выполнялось для каждой пары аргументов. Именно поэтому проверка нескольких значений сама по себе не доказывает монотонность.
По графику направление изменения удобно определять, двигаясь слева направо, то есть увеличивая x. Если линия поднимается, соответствующие значения y становятся больше — функция возрастает; если опускается, y уменьшается — функция убывает. Такой способ чтения связан с тем, что по горизонтальной оси отложен аргумент, а по вертикальной — значение функции. На повороте графика направление может измениться, и тогда промежуток нужно разделить.
Нули могут разделять область определения на участки, где непрерывная функция сохраняет знак: чтобы перейти от положительных значений к отрицательным, график должен пересечь ось Ox, а точка пересечения и есть нуль. Непрерывность означает, что график не перескакивает через промежуточные значения. Положение относительно оси показывает знак: выше неё f(x) > 0, ниже — f(x) < 0. Если функция разрывна или некоторые точки исключены из области определения, одного списка нулей может быть недостаточно.
Чтобы найти знакопостоянство, сначала решают уравнение f(x) = 0 или отмечают пересечения графика с Ox. Затем нулями и исключёнными из области определения точками разбивают числовую прямую и проверяют знак на каждом полученном участке. Для проверки можно взять любое удобное значение внутри участка и вычислить функцию; для непрерывной функции знак внутри участка без нулей не меняется. Нули проверяют отдельно: при строгих неравенствах f(x) > 0 и f(x) < 0 они не входят в ответ.
Границы промежутков выбирают с учётом области определения: нельзя включить точку, в которой функция не задана. При записи возрастания или убывания граничная точка может входить в промежуток, если это допускает определение и так записывается рассматриваемый участок. Для строгой положительности и отрицательности нули исключают, а для условий f(x) ≥ 0 или f(x) ≤ 0 их, наоборот, учитывают. Поэтому круглые и квадратные скобки отражают не оформление, а то, какие точки входят в множество.
| Характеристика | Условие или признак | Как обозначают или находят |
|---|---|---|
| Возрастание | x₁ < x₂ влечёт f(x₁) < f(x₂) | Сравнивают значения для любых двух аргументов; по графику линия поднимается слева направо |
| Убывание | x₁ < x₂ влечёт f(x₁) > f(x₂) | Сравнивают значения для любых двух аргументов; по графику линия опускается слева направо |
| Положительность | f(x) > 0 | График выше оси Ox; находят участки с положительным знаком |
| Отрицательность | f(x) < 0 | График ниже оси Ox; находят участки с отрицательным знаком |
| Нули функции | f(x) = 0 | Решают уравнение; на графике это абсциссы пересечений с Ox |
Сначала определите область, на которой исследуется функция, а затем применяйте нужный признак: сравнение значений, положение графика или уравнение f(x) = 0. Таблица помогает не смешивать поведение функции и её знак: возрастание не означает автоматически положительность.
Задача 1. По графику линейной функции y = 2x − 4 определить, возрастает она или убывает, найти её нуль и промежутки знакопостоянства. У прямой коэффициент при x положителен, поэтому при увеличении x значения y растут. Для нахождения нуля приравняем функцию к нулю.
Ответ: возрастает на (−∞, +∞); нуль — 2; f(x) < 0 при x < 2, f(x) > 0 при x > 2.
Задача 2. Для функции y = x² − 4 найти промежутки возрастания и убывания, нули и промежутки знакопостоянства. Парабола симметрична относительно оси Oy и имеет вершину в точке (0; −4). До вершины график опускается, а после неё поднимается.
Ответ: убывает на (−∞, 0], возрастает на [0, +∞); нули −2 и 2; положительна на (−∞, −2) и (2, +∞), отрицательна на (−2, 2).
Задача 3. Для функции y = x³ − 3x определить по графику промежутки возрастания и убывания, нули и промежутки знакопостоянства. График меняет направление в точках локального максимума и минимума, имеющих абсциссы −1 и 1. Поэтому сначала разделим числовую прямую этими точками, а для знака отдельно используем пересечения с осью Ox.
Ответ: возрастает на (−∞, −1] и [1, +∞), убывает на [−1, 1]; нули −√3, 0, √3; функция положительна на (−√3, 0) и (√3, +∞), отрицательна на (−∞, −√3) и (0, √3).
Функцию иногда объявляют возрастающей, заметив рост в нескольких выбранных точках. Так делают, потому что отдельные значения наглядны, но они не гарантируют такого же поведения между точками: график может изменить направление. Проверка себя — вспомнить определение: условие должно выполняться для любых двух аргументов промежутка. Если доказательства для всех пар нет, вывод по нескольким точкам недостаточен.
Нуль функции путают с нулём аргумента, считая, что речь обязательно о x = 0. На самом деле нулём функции называют аргумент, при котором значение функции равно нулю, и он может быть другим числом. Чтобы проверить ответ, подставьте найденное x в f(x) и убедитесь, что получается 0. Например, для y = 2x − 4 нулём служит 2.
Нули включают в промежутки строгой положительности или отрицательности, хотя в них f(x) = 0. Ошибка возникает, когда забывают различие между строгими знаками >, < и нестрогими ≥, ≤. Проверяйте граничную точку подстановкой: ноль не удовлетворяет ни f(x) > 0, ни f(x) < 0. Для нестрогого условия f(x) ≥ 0 или f(x) ≤ 0 такой нуль включают.
Знак функции указывают лишь на одном участке или не учитывают ограничения области определения. Между нулями знак может меняться, а исключённая точка тоже делит область на отдельные части, даже если уравнение f(x) = 0 в ней не имеет смысла. Разбейте область определения всеми нулями и исключёнными точками, после чего проверьте каждый промежуток. В конце убедитесь, что ответ не содержит недопустимых значений аргумента.
Для чтения графика и определения промежутков нужны навыки работы с координатной плоскостью, понимание области определения и умение решать простые уравнения. Эти свойства используют при построении графиков и исследовании функций, в том числе с помощью производной. Нули и знаки помогают решать уравнения и неравенства, а также анализировать выражения. Поэтому умение верно записать промежутки связывает графический и алгебраический способы решения задач.
На графике y = x³ − 3x направление меняется у локального максимума и минимума, а пересечения с Ox показывают нули. Отметьте отдельно точки изменения направления и нули: они отвечают за разные характеристики. Промежутки возрастания и убывания читают по тому, поднимается или опускается график слева направо. Знак определяют по расположению графика относительно оси.
Может ли функция возрастать на одном промежутке и убывать на другом?
Да. Например, функция y = x² убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. Свойство устанавливают отдельно на каждом промежутке.
Как понять по графику, где функция возрастает?
Двигайтесь по графику слева направо. Если график поднимается, значения функции растут и функция возрастает на этом участке.
Чем нуль функции отличается от нуля аргумента?
Нуль функции — это значение аргумента x, при котором f(x) = 0. Нуль аргумента — число 0; оно может не быть нулём функции.
Включают ли нули функции в промежутки знакопостоянства?
Нет, если речь о строгой положительности f(x) > 0 или отрицательности f(x) < 0. В нуле значение функции равно нулю, поэтому оно не положительно и не отрицательно.
Как найти промежутки знакопостоянства, если известны нули функции?
Отметьте нули на числовой прямой: они разделят область определения на промежутки. На каждом промежутке установите знак функции, например подставив пробное значение, и отдельно проверьте границы и исключённые из области определения точки.
1.4. Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функции
