"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Формула — это равенство, которое связывает величины или задаёт правило вычисления. Буквы в ней помогают записать один и тот же способ для разных числовых данных: например, путь можно найти по скорости и времени, а периметр прямоугольника — по длинам его сторон. Чтобы применить формулу, нужно понять, что означает каждая буква, выбрать выражение для искомой величины, подставить известные числа и проверить единицы измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула — это равенство, которое выражает связь между величинами или задаёт правило вычисления. Например, s = vt связывает путь, скорость и время. Формулы нужны, чтобы коротко записывать зависимости и по известным величинам находить другие.
Буква в формуле обозначает величину и может принимать любое допустимое для этой величины значение. Например, в записи P = 2(a + b) буквами a и b обозначены длины сторон прямоугольника. Такое обозначение позволяет описать не один конкретный прямоугольник, а все прямоугольники.
Значение буквенного выражения находят подстановкой заданных чисел вместо букв и выполнением действий. Если a = 5, то выражение 2a + 3 принимает значение 2 · 5 + 3 = 13. Это правило помогает перейти от общей записи к ответу для конкретных данных.
Одна формула может задавать одно и то же правило для разных числовых данных. В формуле s = vt можно подставить разные скорости и времена, а способ вычисления пути останется прежним. Поэтому формулу удобно использовать снова, когда меняются условия задачи.
Путь при равномерном движении зависит от скорости и времени: чем дольше длится движение при той же скорости, тем больше путь. Если за каждый час тело проходит v единиц пути и движется t часов, общий путь равен произведению этих величин: s = vt. Буквы делают запись общей: вместо конкретных чисел можно подставлять любые подходящие значения.
Из одной зависимости можно получить формулу для другой величины, потому что равенство позволяет выполнять одинаковые действия с обеими его частями. В записи s = vt, чтобы оставить v отдельно, разделим обе части на t: v = s/t. Чтобы найти время, разделим обе части на v и получим t = s/v; делить можно, если делитель не равен нулю.
Перед вычислением нужно определить, какая буква соответствует каждой величине в условии. Затем выберите запись, где искомая величина уже выражена отдельно, или сначала преобразуйте равенство. Подставьте числа на места соответствующих букв и выполните действия по порядку — так значения не перепутаются.
Формулы периметра и площади прямоугольника показывают, как одно правило работает для фигур разных размеров. Если стороны равны a и b, то P = 2(a + b), а S = ab. При изменении длин сторон меняются результаты, но сами правила остаются теми же; при этом периметр измеряет длину границы, а площадь — размер поверхности.
Единицы измерения нужно согласовать, потому что умножение и деление величин сопровождаются соответствующими действиями с их единицами. Для s = vt скорость 60 км/ч и время 4 ч дают путь в километрах: часы сокращаются, остаются километры. Если скорость дана в метрах в секунду, время следует выразить в секундах, чтобы получить путь в метрах.
| Этап | Что сделать | Пример для s = vt |
|---|---|---|
| Определить, что обозначают буквы | Соотнести буквы с величинами из условия | s — путь, v — скорость, t — время |
| Выбрать формулу для искомой величины | Использовать нужную формулу или выразить из равенства искомую букву | Для пути: s = vt |
| Подставить известные значения | Заменить соответствующие буквы числами | При v = 60 км/ч и t = 4 ч: s = 60 · 4 |
| Проверить единицы измерения | Убедиться, что единицы согласованы | Км/ч и ч дают км |
| Выполнить вычисления и записать ответ | Посчитать и указать величину вместе с единицей | s = 240 км |
Пользуйтесь таблицей сверху вниз: следующий шаг выполняйте после того, как определились с предыдущим. Если нужная величина не стоит отдельно в формуле, сначала преобразуйте равенство. В ответе указывайте не только число, но и единицу измерения.
Задача 1. Вычислить путь, пройденный за 4 ч при скорости 60 км/ч, используя формулу s = vt. Здесь известны скорость и время, а требуется путь. Единицы подходят друг к другу: скорость дана в километрах за час, время — в часах.
Ответ: 240 км. Проверка по смыслу показывает, что за четыре часа при скорости 60 км/ч путь должен быть в четыре раза больше, чем за один час.
Задача 2. Прямоугольник имеет стороны 7 см и 3 см. Найти периметр и площадь по формулам P = 2(a + b) и S = ab. Периметр показывает длину всей границы фигуры, а площадь — размер её поверхности. Поэтому для них нужны разные действия и разные единицы ответа.
Ответ: периметр равен 20 см, площадь — 21 см². Вторая проверка — по смыслу: периметр складывает длины сторон, а площадь считает, сколько квадратных единиц помещается внутри прямоугольника.
Задача 3. Путь равен 150 км, время движения — 3 ч. Найти скорость, преобразовав формулу s = vt. Скорость в исходной формуле умножается на время, поэтому, чтобы найти её, нужно убрать умножение на t. Для этого обе части равенства делят на одно и то же ненулевое число t.
Ответ: скорость равна 50 км/ч. Проверяем результат: при такой скорости за 3 ч действительно можно пройти 50 · 3 = 150 км.
Подставлять числа, не выяснив смысл букв, опасно: можно принять время за скорость или перепутать стороны прямоугольника с другой величиной. Обычно так происходит, когда записывают числа из условия сразу, не связывая их с обозначениями. Перед вычислением подпишите рядом с каждой буквой, что она означает, а после подстановки проверьте соответствие чисел.
Ещё одна ошибка — использовать формулу, не выразив нужную величину. Например, для скорости из s = vt иногда ошибочно умножают путь на время, хотя скорость находится делением: v = s/t. Чтобы проверить себя, подставьте найденное значение обратно в исходную формулу: равенство должно выполняться.
Несогласованные единицы приводят к неверному ответу даже при правильных действиях. Например, нельзя напрямую подставлять путь в километрах и скорость в метрах в секунду: единицы пути и скорости не совпадают. Приведите величины к подходящим единицам до вычисления и проследите, какая единица останется у результата.
После подстановки можно ошибиться в порядке действий или счёте и не заметить неправдоподобный результат. Такая ошибка возникает, если спешить и не перепроверять вычисление; особенно внимательно выполняйте действия в скобках и умножение с делением. Пересчитайте пример и оцените ответ: например, путь за несколько часов при положительной скорости не должен быть меньше пути за один час.
Для работы с формулами нужны навыки, которые изучались раньше: запись буквенных выражений, подстановка значений переменных и выполнение арифметических действий. Эти умения помогают перейти от общей записи к числовому ответу и не перепутать порядок вычислений. Если подстановка пока вызывает затруднение, полезно сначала потренироваться на простых выражениях.
Формулы применяются в задачах на движение, при вычислении периметров и площадей, а также при изучении зависимостей между величинами. Они помогают описывать повторяющиеся правила кратко и находить неизвестные данные, если остальные величины известны. Поэтому умение читать и преобразовывать формулы пригодится в разных разделах математики.
Чем формула отличается от обычного буквенного выражения?
Буквенное выражение содержит числа, буквы и действия, например 2a + 2b. Формула — это равенство, которое устанавливает связь величин или правило вычисления, например P = 2(a + b).
Как понять, какую формулу нужно использовать в задаче?
Сначала определите, какие величины известны и что нужно найти. Затем выберите формулу, которая связывает эти величины, и убедитесь, что буквы и единицы измерения соответствуют условию.
Как найти величину, если в формуле она не выражена отдельно?
Преобразуйте равенство так, чтобы искомая буква осталась одна. Например, из s = vt, чтобы найти v, разделите обе части на t: v = s/t.
Нужно ли переводить величины в одинаковые единицы перед подстановкой?
Единицы должны быть согласованы, иначе результат получится неверным. Например, если скорость дана в метрах в секунду, путь следует выразить в метрах, а время — в секундах.
Как проверить, что результат вычисления по формуле верен?
Пересчитайте подстановку и действия, проверьте единицы ответа и оцените, правдоподобно ли число по условию. Например, скорость движения обычно указывают в единицах пути за единицу времени.
11. Формулы
