10. Медиана как статистическая характеристика

Определения и обозначения

Упорядоченный ряд данных — значения признака, расположенные по возрастанию. Например, результаты измерений сначала записывают от наименьшего к наибольшему, а не в том порядке, в котором их получили. Такое расположение нужно, чтобы увидеть, какие значения стоят в середине и сравнить число наблюдений слева и справа от них.

Медиана упорядоченного ряда — значение, стоящее посередине ряда. Она делит ряд по числу наблюдений на две равные части: слева и справа от середины оказывается одинаковое количество членов. Это не обязательно означает, что сами значения по обе стороны одинаковы или равны по расстоянию до медианы.

Медиана ряда с нечётным числом членов — средний член упорядоченного ряда. Например, если в ряду пять значений, медиана занимает третье место. Это определение помогает найти одно центральное наблюдение, не вычисляя сумму всех данных.

Медиана ряда с чётным числом членов — среднее арифметическое двух средних членов упорядоченного ряда. В таком ряду между половинами нет одного общего среднего места, поэтому берут значения, расположенные рядом в центре. Их полусумма и показывает середину между этими двумя членами.

Как это устроено

Сначала данные располагают по возрастанию. В исходной записи порядок чисел может быть случайным: первое значение не обязательно меньше остальных, а последнее — больше. Поэтому нельзя считать число, записанное посередине, медианой, пока ряд не упорядочен; именно упорядочивание показывает положение каждого наблюдения среди остальных.

Если число членов нечётное, одно значение занимает единственное среднее место. Пусть всего в ряду 2k + 1 членов, где k — число, показывающее, сколько членов окажется по каждую сторону от середины. Тогда слева от среднего места стоят k значений, а справа — тоже k, поэтому номер медианы равен k + 1. Например, при семи членах k = 3, значит, медиана стоит на четвёртом месте.

Если число членов чётное, единственного среднего члена нет. Два центральных значения стоят рядом, и по одному из них нельзя одинаково разделить ряд: одно оставит больше наблюдений с одной стороны, другое — с другой. Поэтому находят их среднее арифметическое: складывают значения и делят сумму на два. Получившаяся медиана может даже не совпадать ни с одним членом ряда.

Рассмотрим данные 4, 1, 7, 2, 5. После упорядочивания получаем 1, 2, 4, 5, 7, и медиана равна 4. Если исходные данные записать иначе — 5, 7, 1, 4, 2, — упорядоченный ряд и его середина не изменятся. Значит, медиана зависит от центральных значений упорядоченного ряда, а не от порядка записи.

Медиана описывает середину распределения наблюдений: не меньше половины значений расположено не выше неё и не меньше половины — не ниже. Если у большинства учеников результаты близки, а один результат очень велик, он может заметно увеличить среднее арифметическое. Медиана при этом часто остаётся прежней или меняется меньше, потому что определяется центральным местом, а не величиной всех значений.

Как находить медиану упорядоченного ряда

Сначала посчитай число членов упорядоченного ряда и выбери подходящую строку таблицы. При нечётном числе данных найди одно указанное место, а при чётном — оба центральных места. Повторяющиеся значения тоже занимают отдельные места в ряду.

Разбор задач

Задача 1

Найдите медиану ряда 3, 8, 5, 2, 7. В записи числа стоят не по возрастанию, поэтому нельзя сразу выбирать число, записанное в центре. Сначала приведём данные в нужный порядок, а затем проверим, сколько членов находится по обе стороны от среднего.

1. Упорядочим числа: 2, 3, 5, 7, 8.
2. В ряду 5 членов, число нечётное; среднее место — третье.
3. На третьем месте стоит 5, значит, это медиана.

Ответ: 5.

Задача 2

Найдите медиану ряда 6, 1, 9, 4, 7, 3. Здесь шесть членов, поэтому одного среднего места нет. После сортировки определим два значения в центре и усредним их, чтобы получить точку ровно между ними.

1. Упорядочим числа: 1, 3, 4, 6, 7, 9.
2. Два центральных члена стоят на третьем и четвёртом местах: это 4 и 6.
3. Вычислим их среднее арифметическое: (4 + 6) : 2 = 5.

Ответ: 5.

Задача 3

В таблице указано, сколько книг прочитали ученики: 0 — 2 ученика, 1 — 3 ученика, 2 — 4 ученика, 3 — 1 ученик. Найдите медиану числа прочитанных книг. Частоты позволяют не переписывать десять значений полностью: важно установить, каким значениям соответствуют центральные места.

1. Всего наблюдений: 2 + 3 + 4 + 1 = 10, значит, ряд чётный.
2. Центральные места — пятое и шестое. Два нуля занимают места 1–2, три единицы — места 3–5, четыре двойки — места 6–9.
3. Пятое значение равно 1, шестое — 2. Их среднее арифметическое: (1 + 2) : 2 = 1,5.

Ответ: 1,5 книги.

Типичные ошибки

Иногда вместо медианы находят среднее арифметическое всех чисел: складывают их и делят на количество членов. Так происходит, потому что обе характеристики описывают набор данных, но определяются по-разному. Проверь себя: если в решении сложены все значения, а центральные места не искали, это не способ нахождения медианы.

Другая ошибка — выбирать середину до упорядочивания данных. В случайной записи числа в центральной позиции может оказаться маленьким или большим, а не средним по величине. Проверь себя: перед поиском центрального места выпиши значения по возрастанию; если порядок уже задан таким образом, можно сразу переходить к подсчёту мест.

При чётном количестве членов иногда выбирают только одно из двух центральных значений. Ученик может решить, что достаточно взять число, которое кажется ближе к середине ряда, но оба значения равно важны для её определения. Проверь себя: раздели ряд пополам и убедись, что учёл и последнее число левой половины, и первое число правой.

Бывает, что два центральных значения складывают, но сумму не делят на два. Ошибку допускают, когда помнят о сложении, но забывают, что нужна именно средняя величина между двумя числами. Проверь себя: после сложения выполни деление на 2 и оцени результат — он должен лежать между центральными членами или совпасть с ними.

Связь с другими темами

Для нахождения медианы нужны навыки сравнения и упорядочивания натуральных, целых и дробных чисел. Также полезно уметь находить среднее арифметическое: оно понадобится, если в ряду чётное число членов. Эти действия знакомы по предыдущим темам и теперь применяются к набору данных.

Медиану используют при анализе результатов измерений, опросов и других наблюдений. Например, по ней можно описать середину ряда оценок или времени выполнения задания. Сравнение медиан помогает сопоставить центр двух распределений, а при наличии крайних значений медиана может быть нагляднее среднего арифметического.

Что запомнить

• Перед поиском медианы упорядочи ряд.
• При нечётном числе членов медиана — средний член.
• При чётном числе членов медиана — среднее двух центральных членов.
• Медиана делит упорядоченный ряд по числу наблюдений на две равные части.
• Медиана и среднее арифметическое — разные характеристики.
• В ряду с повторяющимися значениями каждое наблюдение учитывают отдельно.