9. Среднее арифметическое, размах и мода

Определения и обозначения

Среднее арифметическое нескольких чисел — это их сумма, разделённая на количество чисел. Если числа обозначить a₁, a₂, …, aₙ, то среднее равно (a₁ + a₂ + … + aₙ) : n. Буква n здесь обозначает количество чисел, а выражение в скобках — их сумму; среднее помогает представить весь ряд одним условным значением.

Размах ряда — разность между наибольшим и наименьшим значениями: размах = наибольшее значение − наименьшее значение. Он показывает ширину изменения данных от самого маленького результата до самого большого. Эта характеристика помогает оценить, насколько далеко друг от друга находятся крайние значения.

Мода ряда — значение, которое встречается чаще других. Частотой называют число появлений значения в ряду; подсчёт частот помогает увидеть, какое значение повторяется наиболее часто. У ряда может быть одна мода, несколько мод или не быть моды, если ни одно значение не встречается чаще остальных.

Как это устроено

Чтобы найти среднее арифметическое, сложи все значения, а затем раздели сумму на количество значений. Делить нужно именно на их количество, потому что так сумма распределяется поровну между всеми элементами ряда. Например, если сложить результаты нескольких дней, деление на число дней покажет, сколько получилось бы на один день при одинаковом результате каждый день. Если пропустить одно значение при подсчёте или взять неверное количество, среднее изменится.

Для размаха сначала определи самое большое и самое маленькое значения. Если ряд записан не по порядку, можно просмотреть все числа или расположить их от меньшего к большему: тогда крайние числа сразу видны. Из большего значения вычитают меньшее, потому что нужно узнать расстояние между границами ряда. Порядок остальных чисел на результат не влияет.

Чтобы определить моду, подсчитай, сколько раз встречается каждое различное значение. Затем сравни частоты и выбери значение с наибольшей частотой: важно именно число повторений, а не величина самого числа. Если максимальная частота принадлежит нескольким значениям, назови их все. Если частоты одинаковы у всех значений, выделить самое частое невозможно, поэтому моды нет.

Три характеристики описывают ряд по-разному. Среднее арифметическое учитывает все значения, поэтому изменение даже одного числа может изменить сумму и среднее. Размах зависит только от двух крайних значений: изменение числа между ними не повлияет на него. Мода показывает частоту появления, поэтому она может не совпадать ни со средним, ни с крайними значениями.

В практических задачах сначала внимательно выпиши данные и сохрани их единицы измерения: страницы, сантиметры, градусы или другие. Затем вычисли каждый показатель отдельно и проверь, что использовал весь ряд для среднего, крайние значения для размаха и частоты для моды. Результат должен подходить к исходным данным: среднее должно быть между наименьшим и наибольшим значениями, а размах не может быть отрицательным. В ответе указывай единицы там, где они относятся к величинам.

Три характеристики ряда данных

Пользуйся таблицей как планом: сначала реши, какую характеристику нужно найти, затем выбери подходящий способ. Для среднего понадобятся все значения, для размаха — только наибольшее и наименьшее, а для моды — частоты. Так проще не подменить один показатель другим.

Разбор задач

Задача 1. Найти среднее арифметическое чисел 4, 6, 8. Чтобы найти среднее, нужно равномерно распределить сумму этих трёх чисел между тремя слагаемыми. Поэтому сначала складываем их, а потом делим полученную сумму на количество чисел.

1. Сложим значения: 4 + 6 + 8 = 18.
2. В ряду три числа, поэтому разделим сумму на 3: 18 : 3 = 6.

Ответ: среднее арифметическое равно 6. Проверка показывает, что это значение лежит между 4 и 8, как и должно быть для среднего этих чисел.

Задача 2. Для ряда 3, 5, 5, 7, 10 найти размах и моду. Для размаха нужны границы ряда, а для моды — частоты значений. Поэтому отдельно определим крайние числа и подсчитаем повторения.

1. Наибольшее значение — 10, наименьшее — 3; размах равен 10 − 3 = 7.
2. Число 5 встречается два раза, а 3, 7 и 10 — по одному разу. Наибольшая частота равна 2.

Ответ: размах равен 7, мода — 5. Размах показывает расстояние от 3 до 10, а мода указывает на число, которое в этом ряду повторяется чаще всего.

Задача 3. За пять дней ученик прочитал 12, 15, 9, 15 и 19 страниц. Найти среднее арифметическое, размах и моду и пояснить результаты. Сначала используем все пять дневных результатов для среднего, затем найдём крайние значения и сравним частоты. Все вычисления относятся к числу прочитанных страниц, поэтому результаты тоже выражаются в страницах.

1. Сумма прочитанных страниц: 12 + 15 + 9 + 15 + 19 = 70. За пять дней среднее равно 70 : 5 = 14 страниц.
2. Наибольшее значение — 19, наименьшее — 9; размах равен 19 − 9 = 10 страниц.
3. Число 15 встречается два раза, каждое другое значение — один раз, поэтому мода равна 15 страницам.

Ответ: среднее арифметическое — 14 страниц в день, размах — 10 страниц, мода — 15 страниц. В среднем ученик прочитал бы по 14 страниц в день, дневные результаты различались в пределах от 9 до 19 страниц, а чаще всего он читал по 15 страниц.

Типичные ошибки

• Иногда сумму делят не на количество значений, а на другое число, например на число, равное сумме. Так происходит, если забыть, что каждый элемент ряда соответствует одному слагаемому в общей сумме. Проверь, сколько чисел было в условии, и используй именно это количество в качестве делителя.

• Размах могут найти, вычитая наибольшее значение из наименьшего. Ошибку допускают, когда не проверяют, какое число должно стоять первым в разности. Для проверки поставь сначала максимум, затем минимум: результат размаха не должен быть отрицательным.

• Модой иногда называют самое большое число ряда. Но мода определяется количеством появлений, а не размером значения, поэтому большое число может встретиться всего один раз. Сверь частоты: мода — то значение или значения, у которых частота наибольшая.

• Можно ошибочно решить, что мода всегда одна. Если несколько значений имеют одинаковую наибольшую частоту, все они являются модами, а если частоты одинаковы у всех значений, моды нет. Чтобы проверить ответ, сравни частоты каждого значения и не выбирай одно из равных без основания.

Связь с другими темами

Для работы с этими характеристиками нужно уметь складывать и вычитать натуральные числа и десятичные дроби, делить сумму на число и сравнивать значения. Эти действия помогают вычислить среднее и размах, а сравнение частот — найти моду. Среднее арифметическое используют при анализе оценок, измерений и скорости. Размах и мода помогают анализировать и сравнивать наборы данных, например результаты наблюдений или опросов.

Что запомнить

• Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество.
• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Мода — значение с наибольшей частотой.
• У ряда может быть несколько мод или не быть моды.
• Среднее арифметическое учитывает все значения ряда.
• Размах зависит только от крайних значений.