§ 5. Линейная функция

Определения и обозначения

Линейная функция — функция, задаваемая формулой y = kx + b, где k и b — числа, а x — независимая переменная. Это означает, что мы выбираем значение x и по формуле находим соответствующее ему y. Такая запись удобна, когда нужно описать связь двух величин.

Коэффициент k — число, на которое умножается x в формуле y = kx + b. Он показывает, как меняется y при изменении x, и задаёт наклон графика. По знаку k можно заранее понять, будет функция возрастать или убывать.

Свободный член b — слагаемое, которое не содержит x. Если подставить x = 0, получим y = k · 0 + b = b. Поэтому b помогает сразу найти значение функции при нулевом x.

График линейной функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют формуле y = kx + b. Иными словами, каждой точке графика соответствует пара значений x и y, связанных этой формулой. График позволяет увидеть зависимость и сравнить значения функции.

Как это устроено

Формула y = kx + b задаёт соответствие: каждому допустимому значению x соответствует единственное значение y. Причина в том, что после подстановки x действия выполняются однозначно: сначала умножаем его на k, затем прибавляем b. Например, при k = 2, b = 1 и x = 3 получаем только одно значение: y = 7.

График линейной функции — прямая, потому что при равных изменениях x значение y меняется на равные величины. Например, если x увеличивается на 1, то y изменяется на k. Чтобы провести прямую на координатной плоскости, достаточно найти значения функции для двух разных x, отметить полученные точки и соединить их прямой. Одной точки недостаточно: через неё можно провести много прямых.

Коэффициент b задаёт точку пересечения графика с осью y. На этой оси у всех точек x = 0, поэтому в формуле остаётся y = b. Значит, точка пересечения имеет координаты (0; b). Например, при b = 4 график проходит через (0; 4), каким бы ни был коэффициент k.

Коэффициент k определяет направление наклона прямой и изменение функции. Если k > 0, при увеличении x значение y тоже увеличивается, поэтому функция возрастает. Если k < 0, значение y уменьшается и функция убывает. При k = 0 переменная x не влияет на результат: остаётся y = b, а график становится горизонтальной прямой.

Если у двух линейных функций одинаковые k, их графики имеют одинаковое направление наклона. При разных значениях b получаются параллельные прямые, потому что они пересекают ось y на разной высоте. Если совпадают и k, и b, формулы задают одну и ту же прямую. Значит, k отвечает за направление, а b — за положение графика.

Как коэффициенты влияют на линейную функцию и её график

Сначала найди нужное условие в среднем столбце, затем прочитай соответствующее свойство. Например, знак k подскажет, возрастает функция или убывает, а значение b — где прямая пересечёт ось y. Для сравнения двух графиков проверь, совпадают ли их коэффициенты k.

Разбор задач

Постройте график функции y = 2x + 1.

Найдём две точки с разными значениями x. Удобно выбрать небольшие числа, чтобы вычисления были простыми. После вычислений проверим, что точки имеют разные координаты, и проведём через них прямую.

1. Возьмём x = 0: y = 2 · 0 + 1 = 1. Получаем точку (0; 1).
2. Возьмём x = 1: y = 2 · 1 + 1 = 3. Получаем точку (1; 3).
3. Отметим обе точки на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; 1) и (1; 3).

Для функции y = −3x + 4 определите, возрастает она или убывает, и найдите точку пересечения её графика с осью y.

Сравним формулу с общим видом y = kx + b. Так мы увидим, какие значения имеют коэффициенты. Для ответа о направлении достаточно знака k, а пересечение с осью y найдём при x = 0.

1. Коэффициент при x равен k = −3. Он отрицательный, значит, функция убывает.
2. Подставим x = 0: y = −3 · 0 + 4 = 4.
3. Запишем координаты точки пересечения с осью y: (0; 4).

Ответ: функция убывает, график пересекает ось y в точке (0; 4).

Найдите формулу линейной функции, график которой проходит через точки (1; 5) и (3; 9).

Искомая формула имеет вид y = kx + b, но коэффициенты пока неизвестны. Координаты каждой точки должны удовлетворять формуле, поэтому подставим их и составим два уравнения. Решив систему, найдём сначала k, затем b.

1. Для точки (1; 5): 5 = k + b. Для точки (3; 9): 9 = 3k + b.
2. Вычтем первое уравнение из второго: 4 = 2k, откуда k = 2.
3. Подставим k = 2 в уравнение 5 = k + b: 5 = 2 + b, значит, b = 3.
4. Запишем найденные коэффициенты в формулу: y = 2x + 3.

Ответ: y = 2x + 3. Проверка: при x = 1 получаем y = 5, а при x = 3 — y = 9.

Типичные ошибки

Иногда b принимают за коэффициент при x. В формуле y = kx + b коэффициентом при x является k, а b — отдельное слагаемое без x. Ошибка возникает, если не внимательно прочитать запись или перепутать названия. Проверь себя: найди, какое число умножается на переменную.

Направление изменения функции иногда пытаются определить по знаку b. Но за возрастание или убывание отвечает k, потому что именно он умножается на изменяющийся x. Свободный член только сдвигает график вверх или вниз. Для проверки сравни значение k с нулём, не ориентируясь на знак b.

Если график строят по одной точке, получается не одна определённая прямая, а множество возможных прямых через эту точку. Обычно так поступают, когда забывают, что для прямой нужны две точки. Найди значения функции хотя бы для двух разных x и отметь обе точки. После этого можно однозначно провести график.

При k = 0 некоторые считают, что графика не существует. На самом деле формула становится y = b, поэтому каждому x соответствует одно и то же значение y. Ошибка связана с тем, что нулевой наклон принимают за отсутствие линии. Проверь формулу подстановкой разных x: значение y не меняется, а график — горизонтальная прямая.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужны навыки подстановки чисел в выражения и вычисления значений формулы. Также нужно уметь находить точки на координатной плоскости по их координатам. Эти действия помогают строить графики и проверять, принадлежит ли точка прямой.

Линейная функция пригодится при изучении графиков и систем уравнений: общие точки графиков помогают находить решения. Она также описывает зависимости, в которых величина меняется равномерно, например когда за одинаковые промежутки времени проходит одинаковое расстояние. Поэтому формула связывает вычисления с наглядным изображением зависимости.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно двух точек.
• При x = 0 значение функции равно b.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает.
• При k = 0 функция постоянна.