"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Уравнение с одной переменной — равенство, истинность которого зависит от значения этой переменной. Решить уравнение означает найти все значения, при которых равенство верно, или доказать, что таких значений нет. Для решения преобразуют обе части уравнения, сохраняя его корни, и приводят выражение к простому виду. Главный ориентир — уравнение ax = b: по значениям a и b можно определить, сколько у него корней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с одной переменной — это равенство, в котором есть переменная, например x. Оно может быть верным или неверным в зависимости от того, какое значение подставить вместо x. Уравнения помогают находить неизвестные числа и описывать ситуации, где между величинами есть связь.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, в уравнении 3x = 12 число 4 является корнем, потому что 3 · 4 = 12. Понятие корня позволяет точно отличать подходящие значения от неподходящих.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Недостаточно подобрать одно подходящее значение: нужно выяснить, не подходят ли также другие. Поэтому решение заканчивают ответом, в котором указано всё множество корней.
Равносильные уравнения — это уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, уравнения 2x = 8 и x = 4 равносильны: оба имеют только корень 4. Переход к равносильному уравнению помогает упростить запись, не меняя ответа.
Чтобы проверить, является ли число корнем, подставь его вместо переменной и вычисли обе части уравнения. Например, при проверке числа 4 в равенстве 3x = 12 слева получается 3 · 4 = 12, а справа уже стоит 12. Части равны — значит, подстановка превратила уравнение в верное равенство. Если получились разные числа, это значение корнем не является.
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение, потому что равенство сохраняется при одинаковом изменении его сторон. Если числа были равны, то после прибавления к каждому одного и того же числа они останутся равными. И наоборот: если после такого действия части равны, то до него они тоже были равны. Поэтому множество корней не меняется.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. При умножении равных чисел на одно и то же число равенство сохраняется, а при делении ненулевой делитель позволяет восстановить исходное равенство. Условие «ненулевое» обязательно: деление на ноль не определено. Такое преобразование сохраняет все корни и не добавляет новых.
Перенос слагаемого через знак равенства — это сокращённая запись прибавления противоположного слагаемого к обеим частям. Например, чтобы убрать −7 слева, прибавляют 7 и слева, и справа. Слева эти числа взаимно уничтожаются, а справа появляется +7. Поэтому при переносе слагаемое записывают с противоположным знаком.
Слагаемые с переменной собирают в одной части уравнения, а числа — в другой; затем раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые. Так уравнение можно привести к виду ax = b, где a и b — числа. Если a ≠ 0, раздели обе части на a: получится x = b/a, и это единственный корень. Если коэффициент a равен нулю, число корней зависит от того, равно ли нулю b.
| Условие | Вывод | Число корней |
|---|---|---|
| a ≠ 0 | x = b/a | Один |
| a = 0, b ≠ 0 | Равенство 0·x = b невозможно | Корней нет |
| a = 0, b = 0 | Равенство 0·x = 0 верно при любом x | Бесконечно много |
Сначала сравни коэффициент a с нулём, а затем, если a = 0, проверь число b. Не дели на a, пока не убедишься, что оно ненулевое. Таблица помогает не только найти корень, но и понять, может ли уравнение иметь все значения переменной или вовсе не иметь решений.
В каждом примере важно сохранить множество корней и проверить результат. Первые два уравнения сводятся к нахождению одного значения переменной. В последнем после раскрытия скобок переменная исчезает, поэтому нужно определить, верно ли оставшееся числовое равенство.
Ответ: x = 4.
Ответ: x = 5.
Ответ: любое значение x.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Это происходит, если воспринимать перенос как отдельное действие, а не как прибавление противоположного числа к обеим частям. Проверь себя: прибавь к обеим частям противоположное слагаемое и убедись, что запись совпадает с результатом переноса.
Ещё одна ошибка — делить обе части на выражение с переменной, не проверив, может ли оно быть равно нулю. Например, деление на x допустимо лишь при условии x ≠ 0; иначе можно потерять корень x = 0. Перед делением выясни, не обращается ли делитель в ноль при каком-либо значении переменной.
Не у каждого уравнения ровно один корень. Если после преобразований остаётся неверное равенство, корней нет; если верное — подходит любое значение переменной. Сверяй полученный результат с тремя случаями для уравнения ax = b, а не ищи корень любой ценой.
Если не проверить ответ, легко не заметить арифметическую ошибку или неверное преобразование. Подстановка показывает, выполняется ли исходное равенство при найденном значении. В конце решения вычисли обе его части отдельно: если они не равны, проверь вычисления и каждый шаг преобразования.
Для решения уравнений нужны навыки действий с рациональными числами, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Эти умения позволяют преобразовать запись, не меняя множества корней. Уравнения также помогают составлять математические модели текстовых задач: неизвестную величину обозначают переменной, а условие задачи записывают равенством. Уравнения с одной переменной служат основой для изучения линейных уравнений и систем уравнений, где рассматривают несколько равенств с несколькими неизвестными.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение переменной, при котором равенство становится верным. Например, число 4 — корень уравнения 3x = 12, потому что 3 · 4 = 12.
Как проверить, является ли число корнем уравнения?
Подставьте это число вместо переменной и вычислите левую и правую части отдельно. Если получились одинаковые числа, значение является корнем; если разные — не является.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
Перенос — это короткая запись действия: к обеим частям прибавляют число, противоположное переносимому слагаемому. Поэтому слагаемое исчезает на прежней стороне и появляется на другой с противоположным знаком.
Можно ли делить обе части уравнения на выражение с переменной?
Только если известно, что это выражение не равно нулю для всех возможных корней. Иначе можно случайно разделить на ноль или потерять корень, при котором выражение обращается в ноль. Поэтому сначала выясните, может ли делитель быть равен нулю.
Что делать, если после преобразований переменная исчезла?
Посмотрите, какое равенство осталось. Если получилось верное числовое равенство, исходное уравнение верно при любом значении переменной; если неверное — корней нет.
§ 3. Уравнения с одной переменной
