§ 6. Уравнение и его корни

Определения и обозначения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, например 2x + 1 = 7. В числовом равенстве обе части уже заданы числами, и его можно сразу проверить. В уравнении же нужно выяснить, при каких значениях переменной равенство становится верным. Это понятие нужно, чтобы записывать и находить неизвестные величины.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Например, число 3 является корнем уравнения 2x + 1 = 7, потому что после подстановки получается 7 = 7. Проверка корня показывает, подходит ли найденное число, а не просто похоже ли оно на ответ.

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Одного подходящего значения недостаточно, если уравнение может иметь и другие корни. Поэтому при решении требуется описать всё множество значений, удовлетворяющих равенству. Если таких значений нет, это тоже результат решения.

Равносильные уравнения — это уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, x + 8 = 13 и x = 5 равносильны: оба имеют единственный корень 5. Это понятие помогает заменять сложную запись более простой, не меняя ответ. При преобразованиях нужно следить, чтобы корни не терялись и не появлялись лишние.

Как это устроено

Уравнение может быть верным при одних значениях переменной и неверным при других, потому что подстановка меняет значения его частей. Например, в равенстве x + 2 = 5 при x = 3 получаем 5 = 5, а при x = 1 — 3 = 5. Поэтому уравнение нельзя считать просто верным или неверным, пока не указано значение переменной. Поиск подходящих значений и составляет задачу решения.

Чтобы проверить, является ли число корнем, его подставляют вместо переменной во все вхождения и отдельно вычисляют левую и правую части. Например, для x = 3 в уравнении 2x + 1 = 7 левая часть равна 2 · 3 + 1 = 7, а правая — 7. Равенство верно, значит, 3 — корень. Если части оказались разными, проверяемое число корнем не является.

При решении нужно найти все подходящие значения, потому что уравнение может иметь несколько корней или не иметь ни одного. Если остановиться на первом найденном числе, можно пропустить другие решения. Например, уравнение x² = 4 имеет два корня: 2 и −2, поскольку оба числа при возведении в квадрат дают 4. Значит, полный ответ должен учитывать каждое значение, которое удовлетворяет исходному равенству.

Равносильные преобразования позволяют заменить уравнение более простым, сохранив его корни. Так, к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число: равенство сохраняется, потому что обе части изменяются одинаково. Аналогично можно вычитать одинаковые выражения или упрощать выражения в обеих частях. Если же преобразовать только одну часть, равенство может измениться, а вместе с ним — и множество корней.

Найденные значения записывают в ответ, а затем проверяют подстановкой в исходное уравнение. Такая проверка нужна, потому что при вычислениях можно ошибиться, а некоторые преобразования требуют особой осторожности. Для проверки вычисляют обе части исходной записи и убеждаются, что они равны. Если проверка не проходит, нужно вернуться к решению и найти ошибочный шаг.

Основные понятия об уравнении

Сначала найди в таблице понятие, которое нужно вспомнить, затем свяжи его определение с примером. Примеры показывают, как одно уравнение можно записать проще, не изменив его корень. Используй таблицу, чтобы различать само уравнение, его корень и действие по поиску корней.

Разбор задач

Проверим, является ли число 3 корнем уравнения 2x + 1 = 7. Для этого не нужно заранее решать уравнение: достаточно выяснить, верно ли равенство при указанном значении. Сравним значения левой и правой частей после подстановки. Если они совпадут, число подходит.

1. Подставим 3 вместо x: 2 · 3 + 1 = 7.
2. Вычислим левую часть: 6 + 1 = 7. Правая часть тоже равна 7, значит, равенство верно.

Ответ: да, 3 — корень уравнения 2x + 1 = 7. Проверка подтвердила, что обе части равны. Если бы получилось, например, 6 = 7, число не подошло бы.

Решим уравнение x + 8 = 13 и проверим ответ. Нужно найти число, которое после прибавления 8 даёт 13. Чтобы оставить переменную одну, вычтем 8 из обеих частей; одинаковое действие сохраняет равенство. Затем подставим полученное значение в исходную запись.

1. Вычтем 8 из обеих частей: x + 8 − 8 = 13 − 8.
2. Упростим: x = 5. Это единственное значение, найденное из полученного равенства.
3. Проверим в исходном уравнении: 5 + 8 = 13, то есть 13 = 13.

Ответ: x = 5. Подстановка в исходное уравнение показывает, что ответ верен. Проверка также помогает заметить ошибку, если при вычитании или вычислениях было допущено неверное действие.

Решим уравнение 3(x − 2) = x + 4. Сначала упростим левую часть, раскрыв скобки, затем соберём слагаемые с переменной в одной части. На каждом шаге выполняем одинаковые действия с обеими частями, чтобы сохранить корень. В конце обязательно проверим результат в первоначальной записи.

1. Раскроем скобки: 3x − 6 = x + 4.
2. Вычтем x из обеих частей: 2x − 6 = 4.
3. Прибавим 6 к обеим частям: 2x = 10.
4. Разделим обе части на 2: x = 5.
5. Проверим исходное уравнение: 3(5 − 2) = 9, а 5 + 4 = 9. Части равны.

Ответ: x = 5. Проверка в исходном уравнении подтверждает, что найденное значение подходит. Она важна даже тогда, когда все преобразования выглядят простыми: так проверяется весь ход решения.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать число корнем, не сделав подстановку. Такое случается, когда ответ кажется очевидным или решение выполняют слишком быстро. Но подходящее на вид значение может не сделать части равными. Проверь себя: подставь число в исходное уравнение и сравни результаты вычислений.

Ошибка: остановиться на одном корне, хотя уравнение может иметь несколько, или решить, что корней нет, не проверив это. Так бывает, если найденное значение принимают за полный ответ. Для самопроверки выясни, не допускает ли уравнение других подходящих значений; например, x² = 4 имеет два корня. Ответ должен охватывать все решения.

Ошибка: изменить только одну часть равенства при преобразовании. Это может показаться удобным способом быстрее избавиться от слагаемого, но равенство тогда уже не сохраняется, и корни могут измениться. Выполняй одно и то же действие с обеими частями. После каждого шага проверь, что получилась равносильная запись.

Ошибка: проверить ответ только в упрощённом уравнении, а не в исходном. Упрощение или преобразование могли быть выполнены неправильно, поэтому такая проверка не обнаружит ошибку в начале решения. Подставляй найденный корень в первоначальную запись и сравнивай её части. Если они не совпали, ответ нужно пересмотреть.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями нужно уметь выполнять действия с числами и выражениями, подставлять значения вместо переменных и упрощать записи. Эти навыки позволяют вычислять обе части при проверке и выполнять преобразования без потери равенства. Если подстановка или упрощение вызывают затруднения, стоит сначала повторить действия с выражениями.

Решение уравнений пригодится при изучении линейных уравнений, где важно находить значение переменной по правилам преобразования равенств. Оно также помогает составлять уравнения по условиям задач и решать системы уравнений. Во всех этих случаях нужно понимать, что означает корень, и проверять найденный результат.

Что запомнить

• Уравнение — равенство, содержащее переменную.
• Корень превращает уравнение в верное числовое равенство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
• Корень можно проверить подстановкой в исходное уравнение.
• Равносильные уравнения имеют одни и те же корни.
• При решении важно не потерять корни и не добавить лишние.