§ 7. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным

Определения и обозначения

Уравнение с одним неизвестным — это равенство, в котором есть переменная, например x. Решить такое уравнение — значит найти значения переменной, при которых равенство становится верным. Понятие уравнения помогает записывать условия задач с помощью букв и чисел. Поиск подходящих значений — основной способ получить ответ.

Корень уравнения — значение неизвестного, которое превращает уравнение в верное равенство. Например, если при подстановке числа обе части оказываются равны, это число является корнем. Уравнение может иметь один корень, несколько корней или не иметь корней совсем. Поэтому при решении нужно выяснить не только значение неизвестного, но и все ли возможные корни найдены.

Равносильные уравнения — уравнения, у которых одно и то же множество корней. Например, переход от x + 3 = 8 к x = 5 не изменяет подходящее значение неизвестного. При решении важно сохранять равносильность, иначе можно потерять корень или получить лишний. Поэтому преобразования выбирают так, чтобы они не меняли множество решений.

Уравнение, сводящееся к линейному, — это уравнение, которое допустимыми преобразованиями можно привести к линейному уравнению с одним неизвестным. Обычно в нём сначала раскрывают скобки и упрощают выражения. Линейное уравнение можно записать в виде ax = b, где a и b — числа. Это определение подсказывает, к какой простой форме нужно стремиться при решении.

Как это устроено

Главная цель решения — заменить исходное уравнение более простым, сохранив все его корни. Для этого убирают скобки, объединяют похожие слагаемые и отделяют неизвестное от чисел. Каждый переход должен быть обоснован свойствами равенств. Тогда ответ для упрощённого уравнения будет ответом и для исходного.

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или выражение, равенство сохранится: обе части изменятся одинаково. То же верно для вычитания одного и того же выражения. Обе части также можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Ненулевое условие необходимо, потому что деление на ноль невозможно, а умножение обеих частей на ноль уничтожило бы информацию об уравнении.

Раскрытие скобок помогает убрать группировку слагаемых: каждый член внутри скобок умножают на множитель перед ними. Затем приводят подобные слагаемые — складывают или вычитают слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 3x + 2x превращается в 5x, а числа объединяются отдельно. Так выражение становится короче, и легче увидеть, какие члены содержат неизвестное.

Чтобы собрать неизвестные в одной части, а числа — в другой, слагаемые переносят через знак равенства. При переносе знак меняется, потому что на самом деле к обеим частям прибавляют противоположное слагаемое. Например, если слева стоит +4, его убирают вычитанием 4 из обеих частей, и справа появляется −4. Такое объяснение помогает не заучивать перенос как отдельное правило.

После упрощения стремятся получить ax = b: слагаемые с неизвестным собирают, а числовые значения переносят в другую часть. Если a ≠ 0, обе части делят на a и получают x = b/a, то есть один корень. Если a = 0, неизвестное исчезает: при b = 0 равенство верно для любого значения, а при b ≠ 0 оно невозможно. Поэтому нулевой коэффициент нельзя использовать как делитель — сначала нужно разобрать получившееся равенство.

Основные шаги решения уравнения, сводящегося к линейному

Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала упростите записи, затем отделите неизвестное и найдите его значение. На каждом шаге проверяйте знаки и помните, что делить можно только на ненулевое число. В конце подстановка в исходное уравнение помогает проверить весь ход решения.

Разбор задач

Решим уравнение 3(x − 2) = 9. Скобки показывают, что множитель 3 относится и к x, и к числу −2, поэтому сначала раскроем их. Затем оставим неизвестное с одной стороны и разделим обе части на коэффициент при x. Проверка в исходной записи подтвердит найденный корень.

1. Раскрываем скобки: 3x − 6 = 9.
2. Прибавляем 6 к обеим частям: 3x = 15.
3. Делим обе части на 3: x = 5.
4. Проверяем: 3(5 − 2) = 3 · 3 = 9, значит равенство верно.

Ответ: x = 5.

Решим уравнение 4(x + 1) − 2x = 10. Здесь неизвестное встречается и в скобках, и отдельно, поэтому важно сначала раскрыть скобки. После этого подобные слагаемые можно объединить, а число перенести в правую часть. Так получим уравнение, в котором останется только один член с x.

1. Раскрываем скобки: 4x + 4 − 2x = 10.
2. Приводим подобные слагаемые: 2x + 4 = 10.
3. Вычитаем 4 из обеих частей: 2x = 6.
4. Делим на 2: x = 3. Проверяем: 4(3 + 1) − 2 · 3 = 16 − 6 = 10.

Ответ: x = 3.

Решим уравнение 2(3x − 1) − 4(x + 2) = 2x − 10. После раскрытия скобок неизвестные окажутся по обе стороны равенства, поэтому соберём их вместе, а числа отдельно. Затем проверим коэффициент при x: если он обнулится, делить на него нельзя. В этой задаче коэффициент действительно исчезает, и нужно сравнить оставшиеся числа.

1. Раскрываем скобки: 6x − 2 − 4x − 8 = 2x − 10.
2. Приводим подобные слева: 2x − 10 = 2x − 10.
3. Вычитаем 2x из обеих частей: −10 = −10, или 0x = 0.
4. Получилось верное равенство при любом x, поэтому подходит любое число. Проверка показывает, что обе части исходного уравнения при любом значении равны.

Ответ: любое число.

Типичные ошибки

При раскрытии скобок перед которыми стоит минус иногда меняют знак только у первого слагаемого. Так происходит, если минус воспринимают как относящийся лишь к началу выражения, хотя он меняет знак каждого члена в скобках. Например, −(x + 3) = −x − 3. Для проверки умножьте каждое слагаемое в скобках на внешний множитель.

При переносе слагаемого некоторые оставляют его знак прежним. Ошибка появляется, когда правило переноса запоминают механически или путают, какое действие нужно выполнить с обеими частями. При переносе +5 в другую часть получится −5, потому что из обеих частей вычитают 5. Проверьте переход обратным действием или запишите его как прибавление противоположного числа.

Нельзя делить обе части на выражение, которое может оказаться нулём. Такое деление недопустимо при нулевом значении, а деление на неизвестное выражение иногда ещё и теряет подходящий корень. Перед делением выясните, может ли делитель равняться нулю. Если это возможно, рассмотрите такой случай отдельно.

Если после упрощения исчезла переменная, нельзя автоматически объявлять ответом любое число или считать, что решения нет. Ошибка возникает, когда не замечают разницу между равенствами 0 = 0 и 0 = 4. Первое верно всегда, второе неверно при любом значении неизвестного. Чтобы проверить себя, приведите обе части к простому равенству и решите, верно ли оно.

Связь с другими темами

Для решения таких уравнений нужно уметь раскрывать скобки по распределительному свойству умножения и приводить подобные слагаемые. Эти навыки превращают длинные выражения в более простые. Также пригодится решение простейших линейных уравнений и знание свойств равенств. Позже тот же способ рассуждения поможет при решении более сложных уравнений, систем уравнений и текстовых задач.

Что запомнить

• Цель преобразований — получить более простое уравнение с теми же корнями.
• Одинаковое действие над обеими частями сохраняет равносильность; делить можно только на ненулевое число.
• При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется.
• После раскрытия скобок нужно привести подобные слагаемые.
• Если ax = b и a ≠ 0, то x = b/a.
• Если получилось 0x = 0, корнем является любое число; если 0x = b при b ≠ 0, корней нет.
• Подстановкой в исходное уравнение можно проверить найденный корень.