"Алгебра", Алимов Ш.А.
Уравнения со скобками, дробями и несколькими слагаемыми часто можно упростить до вида ax = b. Для этого раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и выполняют равносильные преобразования — такие, которые не меняют корни уравнения. Если a ≠ 0, решение одно; если a = 0, результат зависит от b. Умение решать такие уравнения помогает находить неизвестные в задачах и проверять ответы подстановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с одним неизвестным — это равенство, в котором есть переменная, значение которой нужно найти. Решением уравнения называют такое значение переменной, при котором равенство становится верным. Например, в уравнении x + 3 = 7 решением будет 4, потому что 4 + 3 = 7. Это понятие помогает отличать подходящее значение от тех, при которых равенство неверно.
Корень уравнения — значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство. Например, число 2 — корень уравнения 3x = 6: после подстановки получается 6 = 6. Корней может быть один, несколько или ни одного. Проверка подстановкой показывает, подходит ли найденное число.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, уравнения x + 4 = 9 и x = 5 равносильны: оба имеют единственный корень 5. При решении мы переходим от исходного уравнения к более простому, потому что его легче решить. Такой переход допустим, если новые записи сохраняют все корни и не добавляют лишних.
Линейное уравнение — уравнение, которое после упрощения можно записать в виде ax = b, где a и b — числа, а x — неизвестное. Например, 2x + 3 = 9 после упрощения превращается в 2x = 6. В уравнениях этой темы могут быть скобки и дроби, но их можно преобразовать к линейному виду. Значения a и b подскажут, сколько корней уравнения.
Скобки и повторяющиеся слагаемые мешают сразу увидеть, как найти неизвестное. Раскрывая скобки, мы заменяем произведение на сумму или разность, не меняя его значения: например, 3(x − 2) превращается в 3x − 6. Затем подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью — можно сложить или вычесть. Так запись становится короче и проще для дальнейших действий.
Слагаемые с неизвестным удобно собрать в одной части, а числа — в другой. Например, из обеих частей можно вычесть 2x, чтобы убрать 2x справа, а затем прибавить 6, чтобы убрать −6 слева. В короткой записи говорят, что слагаемое перенесли через знак равенства и поменяли его знак. Основание этого правила — прибавление противоположного выражения к обеим частям уравнения.
Если к обеим частям равенства прибавить одно и то же выражение, равенство останется верным: одинаковая прибавка не изменит того, что левая и правая части равны. То же происходит при вычитании одного и того же выражения. Поэтому такие действия не меняют корни уравнения. Именно они стоят за переносом слагаемых и многими шагами решения.
Умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число также сохраняет равенство и его корни. Например, чтобы убрать знаменатель 4, можно умножить обе части на 4; чтобы найти x из 4x = 12, обе части делят на 4. На ноль делить нельзя, потому что деление на ноль не определено. При умножении на выражение с неизвестным нужно быть внимательным: оно может стать нулём, и тогда такое преобразование не всегда равносильно исходному.
После упрощения стараются получить ax = b. Если a не равно нулю, делят обе части на a и получают единственный корень x = b/a. Если a = 0, неизвестное исчезает: при b ≠ 0 получается неверное равенство 0 = b и корней нет, а при b = 0 — верное равенство 0 = 0, которому подходит любое число. Поэтому сокращение всех слагаемых с неизвестным не означает автоматически, что решение потеряно.
| Преобразование | Что делаем | Почему корни сохраняются |
|---|---|---|
| Раскрытие скобок | Заменяем произведение на сумму или разность по распределительному свойству. | Выражение в скобках умножается на тот же множитель и имеет прежнее значение. |
| Приведение подобных слагаемых | Складываем или вычитаем слагаемые с одинаковой буквенной частью. | Сумма заменяется равным ей выражением. |
| Прибавление или вычитание одного и того же выражения в обеих частях | Убираем слагаемые из одной части и собираем их в другой. | Равенство сохраняется, если одинаковое действие выполнено слева и справа. |
| Умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число | Убираем знаменатели или находим неизвестный множитель. | Обратное действие позволяет вернуться к исходному равенству; делитель не равен нулю. |
| Приведение к виду ax = b и разбор значений a и b | Находим коэффициент при неизвестном и свободное число. | Рассматриваем все случаи: a ≠ 0, a = 0 и соответствующие значения b. |
Пользуйся таблицей как планом: сначала упрощай выражения, затем собирай неизвестные и числа по разным сторонам равенства. На каждом шаге проверяй, что преобразование сохраняет корни и не требует деления на ноль.
Задача 1. Решить уравнение 3(x − 2) = 2x + 5. Сначала раскроем скобки, чтобы убрать произведение, а затем соберём неизвестные с одной стороны. Числа перенесём в другую часть, сохраняя равенство противоположными действиями.
Ответ: x = 11. Проверка: 3(11 − 2) = 27, а 2 · 11 + 5 = 27, значит равенство верно.
Задача 2. Решить уравнение (x − 1)/3 + (x + 2)/4 = 2. В уравнении есть дроби со знаменателями 3 и 4, поэтому умножим обе части на общий знаменатель 12. Он не равен нулю, значит преобразование сохранит корни и избавит нас от дробей.
Ответ: x = 22/7. При проверке можно подставить это значение в исходную запись: умножение на общий знаменатель было равносильным преобразованием, поэтому найденное число должно удовлетворять исходному уравнению.
Задача 3. Решить уравнение 2(3x − 1) − 4x = 2(x − 1) + 3. Здесь важно не спешить переносить слагаемые: сначала упростим левую и правую части отдельно. Затем сравним получившиеся выражения и проверим, осталось ли в уравнении неизвестное.
Ответ: корней нет. Неизвестные сократились, но осталось противоречие, а оно не может стать верным ни при каком x.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Так происходит, если запомнить короткое правило, но забыть действие за ним: противоположное слагаемое прибавляют к обеим частям. Чтобы проверить себя, выполни это действие явно и посмотри, исчезло ли нужное слагаемое. Например, при переносе +5 в другую часть появляется −5.
При раскрытии скобок можно умножить внешний множитель только на первое слагаемое внутри. Причина обычно в спешке: знак умножения перед скобками теряется из виду. Умножай внешний множитель на каждое слагаемое, включая числа и знаки: 3(x − 2) = 3x − 6. Для самопроверки раскрой скобки по одному слагаемому за раз.
Опасно делить обе части на выражение, которое может оказаться равным нулю. Такое деление недопустимо при нулевом значении, а потеря этого случая может привести к неверному ответу. Делить можно на заведомо ненулевое число; если делитель зависит от x, сначала выясни, когда он равен нулю. Проверь, не исключил ли ты таким шагом возможный корень.
Не всякое уравнение имеет один корень. После упрощения иногда получается 0x = 5 или 0x = 0, и эти случаи дают разные ответы. Подстановка значения x тут не поможет: неизвестное уже исчезло, поэтому нужно сравнить a и b в записи ax = b. Если a = 0, проверь, верно ли оставшееся равенство.
Для решения таких уравнений нужно уметь раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. При уравнениях с дробями пригодятся правила действий с дробями и умение находить общий знаменатель. Подстановка корня опирается на вычисление числовых выражений: нужно аккуратно заменить переменную найденным числом.
Решение уравнений помогает находить неизвестные в текстовых задачах: составляют равенство, упрощают его и получают ответ. Тот же навык используется при изучении систем уравнений, где ищут значения нескольких неизвестных. Позже уравнения можно будет решать и графически, изучая пересечение графиков.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется знак?
Перенос — это короткая запись действия: к обеим частям прибавляют противоположное слагаемое. Например, чтобы убрать +5 слева, из обеих частей вычитают 5. Поэтому справа появляется −5.
Можно ли умножить обе части уравнения на выражение с неизвестным?
Это можно делать только с осторожностью: выражение может оказаться равным нулю, а умножение на него способно изменить множество корней. Сначала нужно отдельно проверить случай, когда множитель равен нулю, либо использовать только заведомо ненулевой множитель. В обычных преобразованиях безопасно умножать обе части на ненулевое число.
Зачем при дробях умножать уравнение на общий знаменатель?
Общий знаменатель помогает убрать дроби и упростить вычисления. Если он ненулевой, умножение обеих частей на него сохраняет корни. После этого можно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Что делать, если после упрощения неизвестные сократились?
Проверь, какое равенство осталось. Если получилось неверное равенство, например 0 = 5, уравнение корней не имеет. Если получилось верное равенство, например 0 = 0, корнем является любое число.
Нужно ли проверять корень подстановкой в исходное уравнение?
Проверка подстановкой помогает убедиться, что найденное значение действительно обращает исходное уравнение в верное равенство. Особенно полезно проверять ответ, если в решении были скобки или дроби. Это также помогает заметить ошибку в вычислениях.
§ 7. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным
