"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Решение задач с помощью уравнений — способ перевести условие текстовой задачи на язык математики. Неизвестную величину обозначают переменной, остальные данные выражают через неё, а затем составляют и решают уравнение. Найденный корень обязательно проверяют по условию. Такой метод помогает решать задачи на движение, покупки, работу, проценты и другие зависимости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переменная — неизвестная величина, которую обозначают буквой и значение которой нужно найти. Обычно используют x, но можно выбрать и другую букву. Переменная должна обозначать конкретную величину, например число карандашей или время движения.
Математическая модель задачи — уравнение, описывающее связь между известными и неизвестными величинами из условия. Она заменяет длинное словесное описание короткой математической записью. По модели можно вычислить неизвестное и проверить, верно ли понято условие.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством. Например, для уравнения x + 3 = 8 корнем является x = 5. В задаче корень показывает значение выбранной неизвестной величины.
Решение задачи с помощью уравнения — составление уравнения по условию, нахождение неизвестного и проверка ответа. Одного найденного числа недостаточно: нужно выяснить, подходит ли оно реальной ситуации. Поэтому решение заканчивается ответом словами и единицами измерения.
Сначала нужно выбрать неизвестную величину и обозначить её переменной. Лучше брать ту величину, которую спрашивают, или ту, через которую удобно выразить остальные. Например, если требуется узнать количество книг в меньшей стопке, можно обозначить его за x, а количество книг в большей стопке записать через условие.
Остальные величины выражают через переменную, потому что уравнение должно содержать как можно меньше неизвестных. Слова «на 6 больше» дают выражение x + 6, а «на 6 меньше» — x − 6. Формулировки «в 6 раз больше» и «в 6 раз меньше» означают соответственно 6x и x : 6, поэтому их нельзя заменять прибавлением или вычитанием.
Главное условие задачи связывает все величины в одно равенство. Если сумма двух частей равна общему количеству, записывают сумму частей и приравнивают её к целому. Такое равенство становится уравнением задачи, потому что в нём неизвестное значение связано с данными условиями, а не просто перечисляется отдельный факт.
Полученное уравнение решают известными приёмами: раскрывают скобки, переносят слагаемые, приводят подобные слагаемые и выполняют деление. Найденный корень нужно связать с первоначальным выбором переменной. Если x обозначал время первого этапа, то число x — это именно время, а не расстояние и не общее время.
После решения подставляют найденное значение в уравнение и мысленно возвращаются к условию. Проверяют также единицы измерения и ограничения: число предметов должно быть целым, время и расстояние — положительными, а доля части — не больше целого. Затем ответ формулируют предложением, чтобы было ясно, что именно найдено.
Таблица показывает общий порядок действий от чтения условия до готового ответа. Ею удобно пользоваться как планом во время решения. Если на каком-то этапе возникла ошибка, вернитесь к смыслу выбранной переменной и главному условию.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание | Результат |
|---|---|---|---|
| Анализ условия | Выделить известные и неизвестные величины и установить связи между ними | Все величины должны быть приведены к согласованным единицам | Понятно, что обозначить переменной |
| Введение переменной | Обозначить неизвестную величину буквой и указать её смысл | Учесть ограничения на значение переменной | Определена искомая величина |
| Составление уравнения | Перевести условие задачи на язык равенств | Уравнение должно отражать главное условие, а не отдельный факт | Получена математическая модель |
| Решение уравнения | Найти корень уравнения известными приёмами | Сохранить смысл найденного значения | Найдено значение переменной |
| Проверка и ответ | Проверить корень и соответствие ответа условию | Ответ сформулировать с единицами измерения | Получен обоснованный ответ |
В двух коробках 48 карандашей. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке? Неизвестно количество карандашей во второй коробке, поэтому удобно обозначить его через x.
Ответ: в первой коробке 27 карандашей, во второй — 21 карандаш.
Турист прошёл 18 км за 3 часа: часть пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а оставшуюся часть — со скоростью 7 км/ч. На второй участок он потратил на 1 час меньше. Обозначим время движения со скоростью 5 км/ч через x часов, тогда второе время равно x − 1.
Ответ: задача не имеет решения с указанными данными; проверка выявляет противоречие в условии.
В первый день магазин продал 30% всего товара, во второй — на 12 единиц больше, чем в первый, а в третий — оставшиеся 44 единицы. Обозначим первоначальное количество товара через x. Тогда продажи первого дня равны 0,3x, а второго — 0,3x + 12.
Ответ: первоначально в магазине было 140 единиц товара.
Не указано, что обозначает переменная. Из-за этого непонятно, что означает найденный корень и какую величину нужно записать в ответ. Перед уравнением напишите фразу «Пусть x — ...», а после решения сверьте ответ с этой фразой.
Неверно выражена величина через переменную, особенно при словах «на больше», «на меньше» и «в несколько раз». Так происходит, когда похожие формулировки принимают за одно и то же действие. Проверьте выражение словами: x + 5 должно означать именно «на 5 больше», а 5x — «в 5 раз больше».
Составлено уравнение, которое не отражает главное условие задачи. Иногда в него переносят отдельное число или одну связь, забывая о сумме, общей работе или общем расстоянии. Спросите себя, какое равенство описывает итоговую связь всех частей.
В ответ записан только корень уравнения без проверки, единиц измерения или учёта смысла задачи. Математическое число может оказаться отрицательным, дробным при подсчёте предметов или просто не соответствовать вопросу. Подставьте его обратно, проверьте условие и сформулируйте полный ответ.
Для решения таких задач нужны навыки решения линейных уравнений, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Также важно понимать зависимости между величинами и переводить единицы измерения, работать с процентами и формулами пути, стоимости и производительности. Метод уравнений пригодится в задачах на движение, работу, покупки, смеси и проценты, а позднее — при изучении систем уравнений.
Как понять, какую величину обозначить за x?
Выбирайте величину, которую требуется найти или через которую проще выразить остальные данные. Сразу запишите словами, что означает x, и учтите возможные ограничения: количество, расстояние и время не могут быть отрицательными.
Почему нельзя сразу записать ответ, не решая уравнение?
Ответ должен следовать из всех данных задачи, а не из догадки или одного числа в условии. Уравнение связывает известные и неизвестные величины и показывает, почему найденное значение подходит.
Как отличить выражение «на 5 больше» от выражения «в 5 раз больше»?
«На 5 больше» означает прибавить 5: x + 5. «В 5 раз больше» означает умножить на 5: 5x. Эти выражения описывают разные зависимости, поэтому смешивать их нельзя.
Что делать, если уравнение имеет несколько корней?
Проверьте каждый корень по смыслу задачи и ограничениям на переменную. Подходят только те значения, которые дают допустимые величины и выполняют условие.
Зачем проверять корень, если уравнение решено правильно?
Проверка показывает, не было ли ошибки при составлении уравнения или вычислениях. Кроме того, корень может оказаться недопустимым для задачи, например отрицательным количеством предметов.
§ 8. Решение задач с помощью уравнений
