"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Решение задач с помощью уравнений — способ найти неизвестную величину, записав связь между данными задачи в виде равенства. Сначала выбирают букву для искомого или удобного значения, затем выражают через неё остальные величины и составляют уравнение. После решения уравнения найденное значение проверяют по условию и сопоставляют с вопросом задачи. Такой способ помогает решать задачи на количество, движение, стоимость, смеси и другие зависимости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неизвестное — величина, значение которой требуется найти; при составлении уравнения её обозначают буквой. Например, если нужно узнать начальное число карандашей, можно записать: x — число карандашей сначала. Такое обозначение помогает кратко записывать условие и выполнять действия с искомой величиной.
Уравнение по условию задачи — равенство с неизвестным, которое выражает связь между величинами из условия. Например, запись x + 7 = 19 показывает, что к начальному количеству прибавили 7 и получили 19. Уравнение нужно, чтобы заменить длинное описание задачи математической моделью.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. В уравнении x + 7 = 19 корень равен 12, потому что 12 + 7 = 19. Корень показывает значение выбранной буквой, поэтому его ещё нужно связать с вопросом задачи.
Проверка решения задачи — сопоставление найденного значения с условием и вопросом задачи. Нужно выяснить, подходят ли числа по смыслу, выполняется ли условие и о той ли величине спрашивается. Проверка позволяет обнаружить ошибку даже тогда, когда само уравнение решено правильно.
Сначала выбери неизвестное. Чаще всего буквой обозначают величину, о которой спрашивается, потому что тогда корень сразу даёт ответ. Но можно выбрать другую величину, если через неё проще выразить остальные: например, путь за первый день вместо пути за второй.
Остальные величины выражают через неизвестное, используя данные условия и известные зависимости. Если во второй день прошли на 4 км больше, чем в первый, а путь за первый день равен x, то путь за второй равен x + 4. Такое выражение появляется потому, что слово «больше» означает прибавление, а не отдельное неизвестное.
Чтобы составить уравнение, найди две величины или выражения, которые по условию равны. Например, общий путь равен сумме путей за два дня, поэтому можно записать x + (x + 4) = 36. Перед записью полезно проговорить равенство словами: путь за первый день плюс путь за второй равен всему пути.
Сначала решают составленное уравнение, потому что оно позволяет найти числовое значение выбранной буквы. Однако это значение не всегда является окончательным ответом: буква могла обозначать только одну часть величины или значение до изменения. Поэтому после решения нужно вернуться к условию и найти то, о чём спрашивается.
Результат проверяют в несколько шагов. Подставь число в выражения для связанных величин, проверь главное равенство и убедись, что числа допустимы по смыслу: длина и количество не могут быть отрицательными. Затем сформулируй ответ с единицами измерения или названием величины.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Выбор неизвестного | Обозначить буквой искомую или удобную величину | Понятно ли, что означает буква и в каких единицах измеряется величина |
| Выражение других величин | Записать зависимости из условия через неизвестное | Согласованы ли единицы измерения и выражения соответствуют условию |
| Составление уравнения | Записать равенство, отражающее условие задачи | Действительно ли левая и правая части описывают равные величины |
| Решение уравнения | Найти его корень или корни | Не допущена ли ошибка при преобразованиях |
| Проверка и ответ | Проверить найденное значение в условии и сформулировать ответ | Подходит ли значение по смыслу и отвечает ли оно на вопрос задачи |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу только после проверки предыдущего. Особенно полезно отдельно проверять смысл буквы и равенство, из которого составлено уравнение.
В коробке было несколько карандашей. После того как положили ещё 7, стало 19. Нужно найти начальное количество карандашей. Обозначим его буквой x, потому что именно это значение неизвестно в условии.
Ответ: сначала в коробке было 12 карандашей.
За два дня турист прошёл 36 км, причём во второй день на 4 км больше, чем в первый. Обозначим путь за первый день через x км. Тогда путь за второй день равен x + 4 км, а сумма этих путей должна дать весь маршрут.
Ответ: в первый день турист прошёл 16 км, во второй — 20 км.
В двух ёмкостях было 54 л воды. Из первой перелили во вторую 6 л, и после этого во второй стало вдвое больше воды, чем в первой. Пусть сначала в первой ёмкости было x л, тогда во второй было 54 − x л.
Ответ: сначала в первой ёмкости было 24 л, во второй — 30 л.
Букву иногда вводят без пояснения, а затем путают начальное и изменённое значение. Так происходит, когда запись начинают сразу с формулы. Проверь себя: рядом с буквой напиши, что она обозначает и в каких единицах измеряется.
Фразу «на 4 больше» ошибочно заменяют выражением x − 4. Ошибка появляется, если знак выбирают не по смыслу, а механически. Прочитай полученное выражение словами: если величина действительно больше исходной, должно быть x + 4.
Некоторые составляют равенство из выражений, которые по условию не равны. Причина — отдельные числа из текста соединяют знаком «=», не называя сравниваемые величины. Перед записью уравнения проговори: что именно равно чему и почему.
Корень уравнения иногда записывают как окончательный ответ без проверки. Но буква могла обозначать только часть искомого, а отрицательное число может быть невозможно для количества или длины. Подставь корень в условие и ответь именно на поставленный вопрос.
Для решения задач этим способом нужно уметь составлять и решать линейные уравнения, выполнять действия с числами и выражениями. Также необходимо понимать единицы измерения и зависимости между величинами.
Перевод текста в уравнение пригодится в задачах на движение, проценты, смеси, покупки и другие ситуации. В каждой такой задаче сохраняется общий порядок: выбрать неизвестное, выразить связанные величины и найти равенство.
Как понять, какую величину обозначить буквой?
Обычно буквой обозначают величину, о которой спрашивается в задаче. Но иногда удобнее выбрать другую величину, через которую проще выразить все остальные.
Можно ли обозначить неизвестным не то, о чём спрашивают?
Да, можно, если через выбранную величину легко выразить искомое. В конце нужно не забыть найти именно ту величину, о которой задан вопрос.
Как определить, какое равенство записать в уравнении?
Нужно найти в условии две величины, которые равны, и выразить обе через неизвестное. Затем эти выражения приравнивают, обязательно проверив, что их единицы измерения и смысл совпадают.
Почему корень уравнения может не быть ответом задачи?
Корень показывает значение выбранной буквы, а буква может обозначать не искомую величину, а, например, путь за первый день. Кроме того, корень может быть недопустимым по смыслу, например отрицательным количеством предметов.
Как проверить решение, если в условии много величин?
Сначала подставьте найденное значение в выражения для всех связанных величин. Затем проверьте главное равенство из условия и убедитесь, что полученная величина отвечает именно на вопрос задачи.
§ 3 Решение задач с помощью уравнений
