§ 1 Введение в алгебру

Определения и обозначения

Буквенное выражение — выражение, в котором числа и знаки действий сочетаются с буквами, обозначающими числа. Примеры: 3a + 2, b − 5, 12/(x + 3). Такая запись позволяет работать не с одним конкретным числом, а с целым набором случаев.

Переменная — буква, которой обозначают число, значение которого может изменяться. Например, в выражении 3a + 2 буква a — переменная. Она нужна, чтобы показать, от какого числа зависит результат вычисления.

Значение буквенного выражения — число, полученное после подстановки заданных значений переменных и выполнения действий. Если в 3a + 2 подставить a = 4, получится 14. Значение помогает перейти от общей записи к конкретному ответу.

Допустимые значения переменной — значения, при которых выражение имеет смысл. Например, в дроби 1/(a − 2) нельзя брать a = 2, потому что знаменатель станет нулём. Проверка допустимости нужна до вычислений, чтобы не выполнять невозможное действие.

Как это устроено

Буквы используют потому, что одно и то же правило часто подходит для разных чисел. Например, стоимость нескольких одинаковых тетрадей можно записать как 25n, где n — их количество. Такая запись короче перечисления всех возможных случаев и показывает зависимость результата от числа предметов.

Буквенное выражение составляют из чисел, переменных и знаков действий: сложения, вычитания, умножения или деления. В записи 4b − 3 число 4 умножается на b, а затем из результата вычитается 3. Порядок действий сохраняется таким же, как в арифметике: сначала скобки, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.

Одна и та же буква внутри выражения обозначает одно и то же число. Поэтому в записи a + 2a обе буквы a имеют одинаковое значение, и выражение можно понимать как сумму двух частей, зависящих от одного числа. При этом разные значения переменной дают разные результаты: при a = 1 выражение равно 3, а при a = 5 — 15.

Чтобы найти значение выражения, сначала определяют, какие числа заданы вместо переменных. Затем каждую переменную заменяют этим числом и выполняют действия по правилам арифметики. Например, при a = 6 в выражении 2a + 7 получаем 2 · 6 + 7, а затем 12 + 7 = 19.

Некоторые значения переменной запрещены, потому что отдельное действие при них невозможно. Самый частый случай связан с делением: на ноль делить нельзя. Поэтому в выражении 12/(x + 3) нужно исключить x = −3, ведь тогда знаменатель равен нулю; остальные значения x допустимы.

Буквенное выражение: состав и вычисление

Сначала найдите переменную и посмотрите, какие действия входят в выражение. Затем подставьте известное значение и вычислите результат, соблюдая порядок действий. Отдельно проверьте ограничения: если есть знаменатель, он не должен стать нулём.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить значение выражения 5 + 3 · 4

В выражении есть сложение и умножение, поэтому нельзя начинать со сложения. Умножение выполняется раньше, так как у него более высокий приоритет. После этого останется простое сложение.

1. Выполняем умножение: 3 · 4 = 12.
2. Подставляем полученный результат в выражение: 5 + 12.
3. Складываем: 5 + 12 = 17.

Ответ: 17.

Задача 2. Найти значение выражения 2a + 7 при a = 6

Сначала заменим переменную a числом 6. После подстановки получится числовое выражение 2 · 6 + 7. Затем выполним умножение и сложение именно в таком порядке.

1. Подставляем значение переменной: 2a + 7 = 2 · 6 + 7.
2. Выполняем умножение: 2 · 6 = 12.
3. Складываем: 12 + 7 = 19.

Ответ: 19.

Задача 3. Для каких значений x имеет смысл выражение 12/(x + 3), и чему оно равно при x = 1?

Сначала определим, когда выражение не имеет смысла. Знаменатель x + 3 не может быть равен нулю, поэтому найдём значение x, при котором это происходит. После этого проверим указанное в условии значение x = 1 и вычислим дробь.

1. Приравниваем знаменатель к нулю: x + 3 = 0.
2. Находим запрещённое значение: x = −3.
3. Записываем допустимые значения: x ≠ −3.
4. Подставляем x = 1: 12/(1 + 3) = 12/4 = 3.

Ответ: выражение имеет смысл при x ≠ −3; при x = 1 его значение равно 3.

Типичные ошибки

Забывают скобки при подстановке отрицательного числа. Например, при a = −2 запись a² нужно заменить на (−2)², иначе знак может быть отнесён только к результату вне степени. Проверяйте, относится ли подставляемое число ко всей переменной.

Приписывают одной букве разные значения. В одном выражении все вхождения a обозначают одно и то же число, поэтому нельзя отдельно менять первую и вторую букву a. Чтобы проверить себя, мысленно замените каждую букву одинаковой отметкой или числом.

Нарушают порядок действий. Ошибка появляется, когда сложение выполняют раньше умножения без скобок. Сначала найдите скобки, затем умножение и деление, а уже потом сложение и вычитание.

Не проверяют допустимость переменной. Подстановка может привести к делению на ноль, особенно если переменная находится в знаменателе. Перед вычислением приравняйте знаменатель к нулю и исключите найденное значение.

Связь с другими темами

До изучения буквенных выражений нужно уверенно выполнять действия с натуральными и целыми числами. Также пригодятся правила порядка действий, потому что после подстановки буквенная запись превращается в обычное числовое выражение. Чем лучше освоены эти навыки, тем меньше ошибок будет в алгебре.

Буквенные выражения станут основой для изучения свойств сложения и умножения, тождественных преобразований и уравнений. С их помощью записывают формулы и зависимости между величинами. Поэтому умение подставлять значения и находить ограничения понадобится во многих следующих темах.

Что запомнить

• Буква в выражении обозначает число.
• Значение буквенного выражения зависит от значений переменных.
• Чтобы вычислить значение выражения, подставляют заданные числа вместо букв.
• После подстановки соблюдают порядок арифметических действий.
• Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
• Одна и та же буква в выражении обозначает одно и то же число.