"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Уравнение с одной переменной — равенство, которое становится верным или неверным в зависимости от значения переменной. Если после упрощения оно приводится к виду ax + b = 0, его называют линейным. При ненулевом коэффициенте a у такого уравнения один корень: x = −b/a. Если a равно нулю, корней может быть бесконечно много или не быть совсем. Умение решать такие уравнения помогает находить неизвестные в задачах и составлять математические модели.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с одной переменной — равенство, содержащее переменную, истинность которого зависит от её значения. Например, равенство 2x = 6 верно при x = 3, но неверно при x = 1. Переменная — это буква, вместо которой можно подставлять числа. Такое определение помогает отличать уравнение от равенства, которое верно при любых значениях.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Для уравнения 2x = 6 корень равен 3, потому что 2 · 3 = 6. Значение, которое не превращает равенство в верное, корнем не является. Понятие корня нужно, чтобы точно сказать, что именно мы ищем, решая уравнение.
Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение, которое можно записать в виде ax + b = 0. Здесь a и b — числа, а x — переменная; число a является коэффициентом при переменной. Например, в записи 4x − 8 = 0 имеем a = 4 и b = −8. Такой вид позволяет быстро понять, как решать уравнение и сколько у него корней.
Равносильные уравнения — это уравнения, у которых совпадают множества корней. Например, уравнения 3x = 12 и x = 4 равносильны: корень у обоих один и тот же. При решении важно выполнять такие преобразования, которые сохраняют корни. Иначе можно получить неверный ответ или потерять подходящее значение.
Уравнение не всегда сразу выглядит как ax + b = 0. В его записи могут быть скобки, несколько слагаемых с переменной и числа без переменной. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, мы собираем выражения с x вместе, а числа — отдельно. Например, 2(x + 1) − x = 5 после раскрытия скобок превращается в 2x + 2 − x = 5, а затем в x + 2 = 5.
Перенос слагаемого через знак равенства — короткая запись действия над обеими частями. Если из 5x − 7 = 18 нужно убрать −7 слева, прибавляем 7 и к левой, и к правой части: получаем 5x = 18 + 7. Поэтому слагаемое при переносе меняет знак. Умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число также сохраняет равенство: обе его части изменяются одинаково, а набор корней остаётся прежним.
Когда уравнение приведено к виду ax + b = 0 и a ≠ 0, вычитаем b из обеих частей и получаем ax = −b. Чтобы оставить переменную одну, делим обе части на a: x = −b/a. Деление допустимо, потому что по условию a не равно нулю. Получается один корень: при любом другом значении x равенство ax = −b не выполняется.
Если a = 0, делить на коэффициент нельзя: деление на ноль не определено. Тогда уравнение ax + b = 0 превращается в b = 0. При b = 0 получается верное равенство 0 = 0, которое выполняется при любом x; корней бесконечно много. При b ≠ 0 выходит неверное равенство, например 5 = 0, поэтому корней нет.
После решения подставляют найденное значение в исходное уравнение и вычисляют обе части. Если их значения совпали, ответ подходит. Проверять нужно именно исходную запись: она содержит все скобки и слагаемые, а значит, проверка может обнаружить ошибку, сделанную при упрощении. Если значения частей не совпали, следует заново проверить преобразования и вычисления.
| Условие | Вид уравнения после упрощения | Количество корней | Результат |
|---|---|---|---|
| a ≠ 0 | ax = −b | Один | x = −b/a |
| a = 0, b = 0 | 0 = 0 | Бесконечно много | Подходит любое значение x |
| a = 0, b ≠ 0 | b = 0 | Ни одного | Уравнение не имеет корней |
Сначала упростите уравнение и определите значения a и b. Затем выберите строку таблицы, подходящую к этим коэффициентам. Если коэффициент при переменной равен нулю, сразу переходите к проверке свободного слагаемого и не пытайтесь делить на ноль.
Нужно оставить слагаемое с x в одной части, а числа — в другой. Переносим −7 вправо, поэтому оно становится числом 7. Затем делим обе части на коэффициент при x, то есть на 5.
Проверка подтвердила, что найденное значение подходит. Ответ: x = 5.
Пока в уравнении есть скобки, сначала раскроем их: число перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри. Затем соберём слагаемые с x и числа, чтобы получить уравнение, которое можно решить обычным способом.
Левая часть после подстановки равна правой, значит, решение верное. Ответ: x = 6.
Чтобы определить число корней, не нужно искать конкретное значение x. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, а затем посмотрим, получается ли верное равенство или противоречие. Если переменная исчезнет, результат сразу покажет, сколько корней у уравнения.
Уравнение приводит к противоречию, поэтому ни одно значение переменной не подходит. Ответ: корней нет.
При переносе слагаемого иногда сохраняют его знак, будто его просто передвинули в другую часть. Тогда нарушается равенство, ведь перенос означает прибавление противоположного числа к обеим частям. Чтобы проверить себя, выполните это действие без сокращения: например, прибавьте 7 к обеим частям уравнения 5x − 7 = 18 и убедитесь, что справа получится 18 + 7.
Деление на коэффициент при переменной выполняют, не проверив, равен ли он нулю. Так можно попытаться разделить на ноль — такое действие невозможно и не помогает решить уравнение. Сначала запишите упрощённое уравнение в виде ax + b = 0 и проверьте a; если a = 0, разберите отдельно случаи b = 0 и b ≠ 0.
Не каждое уравнение имеет ровно один корень: при упрощении может получиться как 0 = 0, так и неверное равенство. Ошибку допускают, если решают любое уравнение по правилу x = −b/a, не проверяя коэффициенты. Сверьте результат с условиями: a ≠ 0 даёт один корень, a = 0 и b = 0 — бесконечно много, а a = 0 и b ≠ 0 — ни одного.
Проверка только в упрощённом уравнении может не обнаружить ошибку, допущенную при раскрытии скобок или переносе слагаемых. Полученное значение подставляют в исходное уравнение и сравнивают значения обеих частей. Если они не совпали, значит, ответ неверен или в преобразованиях была ошибка; проверьте каждый шаг решения.
Для решения линейных уравнений нужно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и выполнять действия с рациональными числами. Без этих навыков трудно правильно упростить выражение и получить нужный вид. Если вычисления кажутся сложными, полезно отдельно проверить каждое действие с числами и знаками.
Линейные уравнения помогают решать текстовые задачи: неизвестную величину обозначают переменной, составляют равенство и находят его корень. Этот же способ используют при создании математических моделей и при решении систем уравнений. Поэтому важно не только запомнить правило, но и понимать, почему преобразования сохраняют корни.
Что называют корнем линейного уравнения?
Корень — это такое значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством. Его можно найти решением, а затем проверить подстановкой в исходное уравнение.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
На самом деле слагаемое не перемещают, а прибавляют к обеим частям уравнения число, противоположное этому слагаемому. Поэтому, например, при переходе от 5x − 7 = 18 к 5x = 18 + 7 знак числа 7 меняется.
Как понять, что уравнение имеет бесконечно много корней?
После упрощения должно получиться верное равенство, например 0 = 0. Тогда равенство выполняется при любом значении переменной, и каждое из этих значений является корнем.
Что делать, если коэффициент при переменной равен нулю?
Не делить на этот коэффициент, а упростить уравнение и рассмотреть свободное слагаемое. Если оно тоже равно нулю, подходит любое значение переменной; если не равно нулю, корней нет.
Зачем проверять корень подстановкой в исходное уравнение?
Подстановка показывает, превращает ли найденное значение исходное равенство в верное. Такая проверка помогает обнаружить ошибки, допущенные при раскрытии скобок, переносе слагаемых или вычислениях.
§ 4. Линейное уравнение с одной переменной
