"Алгебра", Мордкович А.Г.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Например, вместо 2 · 2 · 2 · 2 можно написать 2⁴: число 2 здесь называют основанием, а 4 показывает, сколько раз оно входит в произведение. Такая запись помогает не повторять длинные произведения и упрощает вычисления. Главное — не путать степень с умножением основания на показатель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — это произведение нескольких одинаковых множителей, записанное кратко. Например, произведение 4 · 4 · 4 можно заменить записью 4³. Такая форма особенно удобна, когда одинаковых множителей много: не приходится выписывать каждый из них.
Основание степени — число или буква, которая повторяется в произведении. В записи 6⁴ основание — число 6, потому что именно шесть является каждым множителем. Основание помогает понять, какое значение многократно перемножают.
Показатель степени — натуральное число, которое показывает, сколько одинаковых множителей перемножают. В записи 6⁴ показателем является 4: значит, множитель 6 берут четыре раза. По показателю можно проверить, сколько раз основание должно встретиться при раскрытии степени.
Запись aⁿ обозначает произведение n множителей, каждый из которых равен a. Буква a здесь занимает место основания, а n — место показателя. Эта запись работает и с числами, и с буквами, поэтому позволяет кратко представлять разные произведения одинаковых множителей.
Произведение одинаковых множителей записывают короче, заменяя повторения степенью: a · a · … · a = aⁿ. В такой записи n указывает количество повторений, а не новое действие над a. Например, запись 8 · 8 · 8 · 8 превращается в 8⁴. Это сокращение удобно, потому что сохраняет информацию о произведении, но занимает меньше места.
Основание и показатель отвечают на разные вопросы. Основание показывает, какое число или выражение повторяется, а показатель — сколько раз оно повторяется. В произведении 5 · 5 · 5 основание равно 5, а показатель степени равен 3, поэтому краткая запись — 5³. Если перепутать эти роли, получится другая степень и другое произведение.
Степень читают, называя основание и показатель: 2⁵ — «два в пятой степени», а x³ — «икс в третьей степени». Запись степени получают обратным способом: считают одинаковые множители и это число ставят показателем. Например, p · p · p · p записывается как p⁴. Буква p остаётся основанием, ведь именно она повторяется.
Если показатель равен 1, основание встречается в произведении один раз. Поэтому a¹ = a: справа фактически стоит только один множитель a, и перемножать его больше не с чем. Например, 9¹ = 9. Это правило помогает не принимать показатель 1 за значение степени.
Чтобы вычислить степень с числовым основанием, нужно выписать основание столько раз, сколько показывает показатель, а затем выполнить умножение. Например, 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Вычисление ведут последовательно: 2 · 2 = 4, затем 4 · 2 = 8 и ещё раз умножают на 2. Так ясно, что каждое действие добавляет ещё один множитель.
В таблице для каждого показателя показано, сколько раз число 2 входит в произведение. Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите нужный показатель, затем прочитайте запись степени и соответствующее произведение. Последний столбец показывает результат вычисления при a = 2.
| Показатель n | Запись степени | Произведение | Значение при a = 2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2¹ | 2 | 2 |
| 2 | 2² | 2 · 2 | 4 |
| 3 | 2³ | 2 · 2 · 2 | 8 |
| 4 | 2⁴ | 2 · 2 · 2 · 2 | 16 |
Ответ: 7 · 7 · 7 · 7 = 7⁴.
Ответ: x · x · x · x · x = x⁵; основание — x, показатель — 5.
Ответ: 3⁴ = 81, а 3 · 4 = 12; 3⁴ ≠ 3 · 4.
Ошибка — считать, что aⁿ означает a · n. Её допускают, потому что показатель стоит рядом с основанием и выглядит как часть записи умножения. Но показатель сообщает число одинаковых множителей: например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3, а не 3 · 4. Проверка проста: раскройте степень по определению.
Иногда основанием считают число множителей, а показателем — повторяющееся число. Так роли частей степени меняются местами: в записи 7⁴ основание — 7, показатель — 4. Чтобы проверить себя, найдите в исходном произведении повторяющийся множитель, а затем отдельно пересчитайте его повторения.
При раскрытии aⁿ можно случайно записать не столько множителей, сколько показывает показатель. Например, в записи a⁴ должно быть ровно четыре буквы a, а не три или пять. Ошибка возникает, когда считают не сами множители, а промежутки или обозначения. Пересчитайте каждый записанный множитель по одному и сверьте количество с n.
Ещё одна ошибка — считать, что a¹ = 1. Показатель 1 означает, что основание входит в произведение один раз, а не исчезает из записи. Поэтому a¹ = a; например, 5¹ = 5. Для проверки раскройте степень: в произведении остаётся один множитель.
Чтобы понимать степени, нужно уметь умножать натуральные числа и разбираться в произведении нескольких множителей. Именно из таких произведений и получается краткая запись степени. Позже степени встретятся при изучении свойств степеней, одночленов и многочленов. Они также помогают компактно записывать большие и малые числа, когда обычная запись неудобна.
Что означает запись aⁿ?
Она обозначает произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a. Например, a⁴ = a · a · a · a.
Как определить основание и показатель степени?
Основание — число или буква, которое повторяется в произведении. Показатель — маленькое число справа сверху от основания; он сообщает, сколько одинаковых множителей перемножают.
Почему показатель показывает число множителей?
Таково значение записи степени: показатель сокращённо указывает, сколько раз основание участвует в произведении. Например, у 5³ три множителя, каждый из которых равен 5.
Как записать произведение одинаковых чисел в виде степени?
Повторяющееся число запишите основанием, а количество его повторений — показателем. Например, 6 · 6 · 6 · 6 = 6⁴.
Чему равна степень с показателем 1?
Она равна основанию: a¹ = a. Ведь при показателе 1 в произведении содержится один множитель a.
§ 15. Что такое степень с натуральным показателем
