"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Система двух линейных уравнений помогает описать ситуацию, в которой две неизвестные величины связаны сразу двумя условиями. Каждое условие записывают отдельным уравнением, а решение ищут такое, чтобы оба равенства выполнялись одновременно. Системы используют для решения задач о числах, покупках, массе и других величинах. Главное — правильно обозначить неизвестные, учесть все данные и проверить ответ не только по уравнениям, но и по смыслу задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа. Решением такого уравнения служит пара чисел для x и y, при которой равенство становится верным. Одно уравнение часто допускает много таких пар. Эта запись помогает описывать связь между двумя неизвестными величинами.
Система двух линейных уравнений — это два уравнения с общими переменными, которые должны выполняться одновременно. Их записывают вместе, обычно объединяя фигурной скобкой. Каждое уравнение выражает отдельное условие или связь из задачи. Система нужна, когда одного условия недостаточно, чтобы найти неизвестные.
Решение системы — это пара значений переменных, удовлетворяющая каждому уравнению системы. Пара упорядоченная: первое значение относится к x, второе — к y. Поэтому переставлять значения местами можно только после проверки, что обозначения не изменились. Это понятие задаёт точный критерий правильного ответа.
Математическая модель — запись ситуации с помощью переменных и уравнений, которая сохраняет связи между величинами. Например, условие о сумме можно выразить равенством x + y = 18. Модель позволяет заменить длинное описание задачи компактными записями и вычислениями. При этом переменные и полученные числа должны сохранять смысл исходной ситуации.
Если в задаче есть две неизвестные величины, одного условия часто недостаточно: ему могут соответствовать разные пары значений. Например, если сумма чисел равна 18, возможны пары 10 и 8, 12 и 6 и другие. Второе условие отсекает неподходящие варианты. Поэтому каждую независимую связь записывают отдельным уравнением, а вместе они образуют систему.
Перевод задачи на язык системы начинают с выбора переменных. Нужно записать, какую величину обозначает каждая буква, и при необходимости указать единицы измерения. Затем данные условия переводят в равенства: слово «сумма» обычно приводит к сложению, «на столько-то больше» — к разности. Такой порядок помогает не перепутать величины и учесть все сведения из текста.
Решение системы должно одновременно удовлетворять обоим уравнениям, потому что они описывают одну и ту же ситуацию с разных сторон. Пара, подходящая лишь одному уравнению, нарушает одно из условий задачи. Поэтому после нахождения значений их подставляют сначала в одно уравнение, затем в другое. Если оба равенства верны, проверка подтверждает, что ни одна связь не потеряна.
Даже верную пару чисел нужно соотнести с исходной ситуацией. Например, отрицательная цена или отрицательное число предметов обычно не имеют смысла, хотя такие значения могут встретиться при решении уравнений. Проверь, допустимы ли найденные числа, и ответь именно на вопрос задачи. В ответе укажи величины и их единицы: рублей, килограммов, штук или другие.
Одну и ту же задачу можно записать по-разному, если выбрать другие обозначения переменных или поменять их местами. Например, можно обозначить цену тетради через x, а можно через y. Тогда изменится вид уравнений, но связи между величинами должны остаться теми же. Чтобы убедиться, что другая модель верна, проверь определения переменных и каждое условие текста.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Выбор переменных | Записать, какие величины обозначают переменные | Переменные соответствуют неизвестным величинам задачи |
| Составление уравнений | Перевести каждую связь из условия в уравнение | Учтены все данные и правильно выбраны операции |
| Запись системы | Объединить уравнения, которые выполняются одновременно | Уравнения описывают одну и ту же ситуацию |
| Проверка решения | Подставить найденные значения в оба уравнения | Пара удовлетворяет системе и подходит по смыслу задачи |
Пользуйся таблицей по порядку: переходи к следующему этапу, когда проверил предыдущий. Если в уравнениях не учтено какое-то данное, вернись к условию и найди пропущенную связь. Последняя проверка включает и подстановку в систему, и оценку ответа по смыслу задачи.
Сумма двух чисел равна 18, а первое число на 4 больше второго. Найдём оба числа. Обозначим первое число через x, второе — через y. Условие о сумме даёт одно уравнение, а слова «на 4 больше» — второе.
Ответ: 11 и 7.
За 3 тетради и 2 ручки заплатили 160 рублей, а за 2 тетради и 4 ручки — 180 рублей. Обозначим цену одной тетради через x рублей, а одной ручки — через y рублей. Стоимость нескольких одинаковых предметов равна произведению количества на цену, поэтому получаются два линейных уравнения.
Ответ: тетрадь стоит 35 рублей, ручка — 27,5 рубля.
В двух коробках 42 кг яблок. Если из первой коробки переложить во вторую 6 кг, яблок в коробках станет поровну. Обозначим исходную массу яблок в первой коробке через x кг, во второй — через y кг. Общее количество задаёт первое уравнение, а равенство масс после перекладывания — второе.
Ответ: сначала в первой коробке было 27 кг яблок, во второй — 15 кг.
Иногда составляют только одно уравнение, хотя в условии есть две независимые связи. Так происходит, когда ученик замечает, например, общую сумму, но пропускает условие о разности. Одного равенства обычно недостаточно, чтобы определить обе неизвестные величины. Проверь себя: каждому отдельному условию задачи соответствует ли запись?
Другая ошибка — записать два уравнения, но не объединить их в систему. Тогда можно случайно выбрать значения, подходящие одному условию и не подходящие другому. Это случается, если воспринимать уравнения как отдельные задачи. Перед решением убедись, что оба равенства относятся к одним и тем же переменным и одной ситуации.
Найденную пару иногда называют решением, проверив её только в одном уравнении. Но равенство во втором может оказаться неверным, а значит, часть условия не выполнена. Причина часто в том, что проверку считают лишним шагом. Подставь значения обеих переменных по очереди в оба уравнения и проверь каждое равенство.
Ещё одна ошибка — не проверить, допустимы ли значения в исходной задаче. Уравнения могут дать отрицательную цену или количество, хотя в этой ситуации такие ответы невозможны. Это происходит, когда вычисление принимают за окончательный ответ без возвращения к условию. Сверь единицы измерения, допустимость значений и вопрос задачи.
Перед составлением систем полезно уметь обозначать неизвестные переменными и записывать линейные уравнения по тексту задачи. Эти навыки помогают правильно перевести слова о сумме, разности и стоимости в математические записи. Системы особенно пригодятся там, где две неизвестные величины связаны двумя условиями. Дальше можно будет изучать способы решения таких систем и их графическое представление.
Чем система уравнений отличается от двух отдельных уравнений?
Два отдельных уравнения можно рассматривать независимо друг от друга. В системе они связаны: нужно найти одну и ту же пару значений, которая подходит сразу к обоим уравнениям.
Что означает решение системы двух уравнений?
Это упорядоченная пара значений переменных, например x = 3 и y = 5. При подстановке этой пары оба уравнения системы должны превратиться в верные равенства.
Почему решение нужно подставлять в оба уравнения?
Каждое уравнение передаёт отдельное условие задачи. Если пара подходит только к одному уравнению, второе условие не выполнено, поэтому решения всей системы нет.
Как понять, какую величину обозначить каждой переменной?
Выбери неизвестные величины, которые нужно найти, и запиши рядом, что означает каждая переменная. Например, x может обозначать цену тетради в рублях, а y — цену ручки в рублях.
Можно ли составить разные системы для одной и той же задачи?
Да, можно поменять обозначения переменных или выбрать другие неизвестные величины. Главное, чтобы каждое уравнение точно отражало условие, а найденные значения отвечали исходному вопросу.
§ 16. Системы двух линейных уравнений как математические
