9.1. Основные понятия

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, хотя условия его проведения заданы. Например, бросок монеты повторяется по установленным правилам, но заранее неизвестно, какой стороной она упадёт. Понятие нужно, чтобы отделить случайную ситуацию от действия с заранее известным результатом.

Элементарное событие — один возможный исход случайного опыта, который в рамках выбранной модели нельзя разделить на более простые. При броске кубика это, например, выпадение 3. Такие исходы нужны, чтобы составить полный перечень вариантов, из которых затем строят события.

Случайное событие — утверждение о результате опыта, которое может произойти или не произойти; его задают множеством элементарных исходов. Например, событию «выпало чётное число» при броске кубика соответствуют исходы 2, 4 и 6. Это описание позволяет проверять событие по результату опыта и применять к нему операции с множествами.

Достоверное событие происходит при любом исходе, а невозможное событие не происходит ни при одном. Для броска обычного кубика выпадение числа от 1 до 6 достоверно, а выпадение 8 невозможно. Эти понятия помогают обозначить крайние случаи и проверить, охватывает ли модель все возможные результаты.

Как это устроено

Описание опыта задаёт, какие действия выполняются и какие особенности результата учитываются. Из него составляют список элементарных исходов: например, для одного броска кубика это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Список должен охватывать все результаты, иначе какой-то реальный вариант окажется за пределами модели. При этом исходы выбирают так, чтобы каждый возможный результат можно было отнести к одному из них.

Событие задают через исходы, потому что само словесное условие ещё нужно связать с конкретными результатами. Пусть при броске кубика событие A означает «выпало число больше 4», тогда A = {5, 6}. Событие происходит тогда и только тогда, когда выпавшее число входит в это множество. Благодаря такой записи можно точно определить, какие результаты подходят под условие задачи.

У каждого события A есть противоположное событие, которое обычно обозначают Ā. Оно происходит ровно в тех случаях, когда A не произошло, поэтому вместе A и Ā охватывают все исходы и не могут произойти одновременно. Например, если A — «выпало число больше 4», то Ā — «выпало число не больше 4», то есть {1, 2, 3, 4}. Это удобно, когда проще описать отказ от события, а не само событие.

Для двух событий можно рассматривать объединение и пересечение. Объединение A ∪ B включает исходы, при которых происходит хотя бы одно из событий; при этом могут произойти и оба сразу. Пересечение A ∩ B включает только те исходы, при которых одновременно выполняются условия A и B. Различие важно: слова «или» в задачах обычно соответствуют объединению, а «и» — пересечению, хотя смысл условия всегда нужно проверять.

Перечень элементарных исходов зависит от вопроса, потому что одна и та же ситуация может быть описана с разной подробностью. При двух бросках монеты последовательности «герб, решка» и «решка, герб» — разные исходы, если важно, в каком броске выпал герб. Если же спрашивают только, сколько раз выпал герб, эти результаты можно объединить в один вариант ответа. Выбранная модель должна сохранять все различия, существенные для задачи, и не терять возможные результаты.

Основные понятия теории вероятностей

Сначала определите опыт и выпишите множество всех его исходов, а затем сопоставьте условие задачи с подходящими строками таблицы. Чтобы найти объединение или пересечение, отметьте исходы, которые удовлетворяют одному или сразу двум условиям. Примеры в таблице показывают способ описания, а не единственный возможный выбор модели.

Разбор задач

Задача 1. При одном броске игрального кубика перечислите элементарные исходы и задайте событие A: выпало число больше 4. Сначала нужно определить все результаты, которые допускает обычный кубик, и лишь потом отобрать подходящие условию. Так мы не пропустим исходы и сможем точно записать событие.

1. Запишем полный набор элементарных исходов: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. Проверим числа по условию «больше 4»: ему соответствуют 5 и 6.
3. Запишем событие как множество: A = {5, 6}.

Ответ: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {5, 6}. Событие A произойдёт, если выпадет один из двух указанных исходов.

Задача 2. Два раза бросают монету. Опишите элементарные исходы и событие B: герб выпал ровно один раз. Здесь важен порядок: герб в первом броске и герб во втором броске — разные результаты опыта. Поэтому каждый исход записываем парой результатов, где первая буква относится к первому броску, а вторая — ко второму.

1. Обозначим герб буквой Г, а решку — Р.
2. Перечислим все упорядоченные пары: Ω = {ГГ, ГР, РГ, РР}.
3. Оставим пары, где ровно одна буква Г: ГР и РГ.

Ответ: B = {ГР, РГ}. Исход ГГ не подходит, потому что герб выпал дважды, а РР — потому что герб не выпал ни разу.

Задача 3. Из чисел 1, 2, 3, 4 случайно выбирают одно. Событие A — выбранное число чётное, событие B — выбранное число больше 2. Нужно задать противоположные события, объединение и пересечение. Сначала переведём каждое словесное условие в множество чисел, а затем применим определения операций.

1. Полный набор исходов: Ω = {1, 2, 3, 4}. Тогда A = {2, 4}, а B = {3, 4}.
2. Противоположные события содержат исходы, не вошедшие в соответствующие множества: Ā = {1, 3}, B̄ = {1, 2}.
3. Для A ∪ B соберём числа, входящие хотя бы в одно множество: A ∪ B = {2, 3, 4}.
4. Для A ∩ B оставим общие числа: A ∩ B = {4}.

Ответ: Ā = {1, 3}, B̄ = {1, 2}, A ∪ B = {2, 3, 4}, A ∩ B = {4}. Число 4 входит в оба события, поэтому оно попадает и в объединение, и в пересечение.

Типичные ошибки

Событие иногда принимают только за один исход, потому что так проще представить результат броска. Но условие может выполняться при нескольких разных исходах: «выпало число больше 4» включает и 5, и 6. Проверяйте себя вопросом: какие именно результаты удовлетворяют условию? Если их несколько, событие записывается множеством этих исходов.

В опытах с последовательностью результатов можно не учесть порядок, поскольку набор одних и тех же символов кажется одинаковым. Тогда ГР и РГ при двух бросках монеты ошибочно объединяют, хотя они описывают разные последовательности. Проверьте, влияет ли перестановка результатов на ответ задачи. Если важно, в каком шаге получен результат, исходы нужно записывать упорядоченно.

Исходы называют элементарными, не проверив, все ли варианты перечислены и можно ли их различить в рамках модели. Причина обычно в том, что описание опыта составляют слишком быстро или не уточняют, что именно спрашивается. Для проверки перечислите все результаты, допускаемые условиями, и убедитесь, что каждый относится к одному из исходов. Также проверьте, не объединены ли варианты, которые задача требует различать.

Объединение и пересечение путают, потому что в обычной речи слова «или» и «и» иногда употребляются нестрого. В математике A ∪ B означает наступление хотя бы одного события, а A ∩ B — обоих одновременно. Проверьте каждый возможный исход отдельно: достаточно ли ему попасть хотя бы в одно множество или он должен входить в оба? Такая проверка сразу показывает, какую операцию нужно выполнить.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь перечислять все варианты простого опыта и работать с множествами: находить их элементы, объединение и пересечение. Эти навыки помогают перейти от словесного условия к точной математической записи. Если множество исходов задано неверно, дальнейшее решение задачи тоже будет ненадёжным.

Понятия случайного опыта, исхода и события становятся основой для вычисления вероятностей: прежде чем оценивать возможность события, нужно точно определить, какие исходы ему соответствуют. Описание исходов также используется в комбинаторных задачах, где считают количество вариантов. Позднее эти идеи помогают изучать случайные величины, то есть числовые характеристики результатов случайных опытов.

Что запомнить

• Случайный опыт имеет заранее заданные условия и несколько возможных результатов.
• Элементарные исходы описывают отдельные возможные результаты опыта.
• Событие происходит, если реализуется один из составляющих его исходов.
• Достоверное событие включает все исходы, невозможное не включает ни одного.
• Противоположное событие происходит тогда, когда исходное не происходит.
• Объединение означает «хотя бы одно», пересечение — «оба».