9.2. Решение уравнений с помощью систем

Определения и обозначения

Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Её решением называют общий набор значений неизвестных, подходящий каждому уравнению системы. Это позволяет сохранить связь между исходной переменной и введённым обозначением.

Вспомогательная переменная — новое обозначение для выражения, которое повторяется или усложняет запись. Например, вместо x² + x можно временно писать y. Такая замена помогает увидеть знакомое уравнение и упростить вычисления.

Равносильная система — система, имеющая те же решения, что и исходное уравнение. При переходах нужно учитывать условия, при которых преобразование сохраняет решения: например, нельзя делить на выражение, которое может быть равно нулю, не рассмотрев этот случай. Так можно избежать потери корней.

Обратная подстановка — возвращение от вспомогательной переменной к исходным неизвестным и проверка найденных значений. Если получилось y = 4 при замене y = x², нужно решить x² = 4, а не считать 4 ответом исходного уравнения. Этот шаг показывает, какие значения действительно подходят.

Как это устроено

Сначала в уравнении ищут выражения, которые удобно считать отдельными неизвестными. Это могут быть одинаковые составные части, например x² + x, или разные степени одной переменной, как x² и x⁴. Замена полезна, если она превращает исходную запись в уравнение знакомого типа, например квадратное. Если выделенное выражение встречается только один раз и не упрощает задачу, вводить новую букву обычно незачем.

Затем вводят вспомогательную переменную и отдельно записывают, чему она равна: например, y = x². Это уравнение связывает новые обозначения с первоначальной задачей. Без него система может допустить значения y, которым не соответствует никакое x, или не учесть ограничения на x. Поэтому связь — не формальность, а часть условий, определяющих решения.

Исходное уравнение переписывают через новые неизвестные и получают систему. Например, выражение x⁴ − 5x² + 4 = 0 после замены y = x² принимает вид y² − 5y + 4 = 0, а связь y = x² образует второе уравнение системы. Такая запись удобна тем, что уравнение для y решается обычными способами, но его корни ещё не обязательно являются ответами для x.

Сначала решают полученное уравнение или систему, а затем отбирают значения, совместимые со связью между переменными. При y = x² обязательно y ≥ 0; если y обозначает квадратный корень, то y тоже неотрицательно. После отбора из связи находят исходную переменную. Так, из y = 4 и y = x² следуют два значения x, тогда как из y = 4 при иной связи результат мог бы быть другим.

Наконец, найденные значения подставляют в исходное уравнение. Это особенно существенно, если в ходе решения обе части возводили в степень: такое действие может привести к постороннему корню. При делении на выражение нужно отдельно проверить случай, когда оно равно нулю. Проверка в исходной записи подтверждает, что ответ удовлетворяет всем условиям задачи.

Этапы решения уравнения с помощью системы

Используйте таблицу как последовательность действий: переходите к следующему этапу, только записав необходимые условия предыдущего. Особенно внимательно проверяйте ограничения при решении системы и после обратной подстановки. Если преобразование могло добавить корни, подстановка в исходное уравнение обязательна.

Разбор задач

1. Решить уравнение (x²)² − 5x² + 4 = 0.

Здесь повторяется x², поэтому обозначим его буквой y. Связь y = x² понадобится, чтобы после решения уравнения для y вернуться к x. Поскольку квадрат неотрицателен, сразу учитываем условие y ≥ 0.

1. Положим y = x². Тогда система имеет вид: y = x², y² − 5y + 4 = 0.
2. Разложим квадратный трёхчлен: (y − 1)(y − 4) = 0. Получаем y = 1 или y = 4; оба значения удовлетворяют условию y ≥ 0.
3. Возвращаемся к x: при x² = 1 получаем x = ±1, а при x² = 4 получаем x = ±2. Подстановка каждого значения в исходное уравнение даёт ноль.

Ответ: x = −2, −1, 1, 2.

2. Решить уравнение (x² + x)² − 5(x² + x) + 4 = 0.

Повторяется выражение x² + x, поэтому обозначим его через y. Квадратное уравнение для y даст возможные значения составной части, но каждое из них нужно отдельно подставить в связь y = x² + x. Именно на этом этапе получаются ответы для x.

1. Положим y = x² + x. Тогда y² − 5y + 4 = 0, откуда (y − 1)(y − 4) = 0. Значит, y = 1 или y = 4.
2. При y = 1 решаем x² + x = 1, то есть x² + x − 1 = 0. По формуле корней получаем x = (−1 ± √5)/2.
3. При y = 4 решаем x² + x = 4, то есть x² + x − 4 = 0. Отсюда x = (−1 ± √17)/2; подстановка найденных значений y в исходное уравнение подтверждает решение.

Ответ: x = (−1 ± √5)/2 или x = (−1 ± √17)/2.

3. Решить уравнение √(x + 1) + √(4 − x) = 3.

Здесь удобно обозначить каждый корень отдельной переменной: так исходное условие превращается в систему с суммой новых неизвестных. Область допустимых значений исходного уравнения: −1 ≤ x ≤ 4. Новые переменные неотрицательны, а связь через их квадраты позволит восстановить x и не потерять ограничений.

1. Положим a = √(x + 1), b = √(4 − x). Тогда a ≥ 0, b ≥ 0, a + b = 3, a² = x + 1 и b² = 4 − x.
2. Сложив последние два равенства, получаем a² + b² = 5. Из (a + b)² = a² + 2ab + b² следует 9 = 5 + 2ab, поэтому ab = 2.
3. Числа a и b имеют сумму 3 и произведение 2, значит, это корни уравнения t² − 3t + 2 = 0: 1 и 2. Тогда возможны пары (a, b) = (1, 2) и (2, 1).
4. Из x = a² − 1 получаем соответственно x = 0 и x = 3. Оба значения входят в ОДЗ и дают в исходном уравнении сумму корней 3.

Ответ: x = 0 или x = 3.

Типичные ошибки

Вводят вспомогательную переменную, но не записывают её связь с исходной. Тогда найденные решения могут относиться только к новому уравнению, а не к исходной задаче. Это часто происходит, когда замену принимают за простую запись; проверка себя — убедиться, что в системе есть уравнение вроде y = x².

При обратной подстановке принимают любое найденное значение вспомогательной переменной, не проверив, достижимо ли оно. Например, при y = x² нельзя брать отрицательное y. Чтобы избежать ошибки, подставьте каждое значение в связь и решите полученное уравнение относительно исходной переменной.

Забывают ОДЗ или ограничения, связанные с квадратом и корнем. Из-за этого могут появиться значения, при которых выражение исходного уравнения не определено, или нарушается условие неотрицательности. Перед решением выпишите ограничения и сверяйте с ними каждый кандидат на корень.

Не проверяют решения после неравносильного преобразования и оставляют посторонние корни. Такое случается, например, после возведения обеих частей в степень или деления на выражение, которое может обратиться в ноль. Подстановка каждого кандидата в первоначальное уравнение позволяет отсеять неподходящие значения.

Связь с другими темами

Для этого метода нужны навыки решения систем линейных и квадратных уравнений, а также замены переменной в уравнении. Он напрямую связан с равносильными преобразованиями и областью допустимых значений: при каждом переходе важно знать, сохраняются ли корни. Обратная подстановка помогает проверить результат и применима к сложным уравнениям с повторяющимися выражениями, степенями и радикалами.

Что запомнить

• Вспомогательная переменная упрощает повторяющуюся часть уравнения.
• Связь новой переменной с исходной обязательно включают в систему.
• Систему решают с учётом всех ограничений исходного уравнения.
• Не каждое значение вспомогательной переменной соответствует значению исходной.
• После обратной подстановки корни проверяют в исходном уравнении.