§ 28. Таблицы распределения частот  

Определения и обозначения

Статистическая совокупность — набор объектов или результатов наблюдений, которые изучают. Для каждого элемента совокупности фиксируют значение выбранного признака, например рост ученика или результат измерения. Так становится понятно, какие именно данные сравнивают. Без этого шага нельзя правильно определить, что считать одним наблюдением.

Варианта — отдельное значение признака в статистических данных. Если одно и то же значение встречается несколько раз, его считают одной и той же вариантой, а не разными вариантами. Например, несколько результатов «5» — это одна варианта со многими повторениями. Выделение вариант помогает сократить длинный список и не спутать значения с количеством их появлений.

Частота — число появлений данной варианты в наборе данных. Иными словами, частота показывает, сколько раз значение повторяется в исходном списке. Если число 3 записано четыре раза, его частота равна 4. Этот показатель нужен, чтобы сравнивать распространённость разных значений.

Таблица распределения частот — таблица, в которой каждой варианте сопоставлена её частота. В одной части таблицы записывают значения признака, в другой — количество их повторений. Такая запись сохраняет сведения о данных, но делает их более наглядными. По ней удобно быстро сравнить частоты и проверить общее число наблюдений.

Как это устроено

Если данных немного, повторы легко заметить прямо в списке. Но длинный перечень трудно быстро просмотреть: одно и то же значение может встретиться в разных местах, а при подсчёте легко сбиться. Поэтому сначала выделяют все различные варианты, а затем отдельно считают каждую. Так данные становятся короче и организованнее, а сравнивать значения проще.

Составляя таблицу, запиши каждую варианту один раз и обычно расположи значения по возрастанию. Затем напротив каждого значения укажи его частоту, то есть число повторений в исходном списке. Порядок по возрастанию помогает не забыть промежуточные значения и облегчает поиск нужной строки. Если вариант много, такой порядок особенно удобен для проверки.

Сумма частот всех вариант должна совпадать с числом наблюдений. Каждое исходное значение относится к одной конкретной варианте, поэтому оно учитывается ровно один раз. Если сложить количества повторений всех вариант, мы тем самым пересчитаем весь список. Несовпадение суммы с числом данных указывает, что где-то есть пропуск или ошибка в подсчёте.

Таблица позволяет быстро увидеть, какая варианта встречается чаще остальных. Для этого сравнивают числа в столбце частот и находят наибольшее. Например, частота 6 больше частот 2 и 4, поэтому соответствующее значение встречается чаще. Таким же способом можно сравнить частоты любых двух вариант, не просматривая заново весь список.

Проверять таблицу удобно в два этапа: ещё раз пересчитать исходные значения и отдельно сложить все частоты. При повторном подсчёте проследи, чтобы каждое число из списка попало к своей вариантe. Затем сравни сумму частот с количеством записанных результатов. Такая проверка помогает обнаружить как пропущенные повторы, так и ошибочно добавленные.

Распределение частот значений признака

В каждой строке таблицы значение признака связано с количеством его повторений. В строке «Итого» указывают число всех наблюдений, которое также должно получиться при сложении частот. Сравнивая частоты, можно найти наиболее часто встречающуюся варианту.

Разбор задач

Задача 1. В результатах измерений записаны числа 2, 3, 2, 4, 3, 2. Составим таблицу распределения частот. Сначала выделим разные значения, а потом подсчитаем, сколько раз каждое из них встречается. Варианты удобнее записать по возрастанию.

1. В списке есть значения 2, 3 и 4. Повторяющиеся записи не добавляют новых вариант, поэтому в таблице будет три строки со значениями.

2. Число 2 встречается три раза, число 3 — два раза, а число 4 — один раз. Эти количества записываем напротив соответствующих вариант.

3. Проверяем сумму: 3 + 2 + 1 = 6. Это совпадает с количеством чисел в исходном списке.

Ответ: варианты 2, 3, 4 имеют частоты 3, 2, 1 соответственно.

Задача 2. Для набора 5, 4, 5, 3, 4, 5, 2, 3, 4 составим таблицу и проверим её. Начинать с подсчёта удобнее после упорядочивания различных значений. Так проще следить, что ни одно значение не пропущено.

1. Различные варианты — 2, 3, 4 и 5. Записываем их в таблицу по возрастанию, каждый только один раз.

2. Подсчитываем повторы: 2 встретилось один раз, 3 — два раза, 4 — три раза, 5 — три раза. Значит, частоты в том же порядке равны 1, 2, 3, 3.

3. Складываем частоты: 1 + 2 + 3 + 3 = 9. В исходном наборе девять результатов, поэтому сумма совпала с их количеством и таблица проверена.

Ответ: варианты 2, 3, 4, 5; частоты 1, 2, 3, 3. Наиболее часто встречаются 4 и 5: у них одинаковая наибольшая частота.

Задача 3. В таблице указаны варианты 1, 2, 3, 4 с частотами 3, 5, 2, 4. Определим число наблюдений и наиболее частую варианту, затем восстановим возможный набор. Частота сразу сообщает, сколько раз значение нужно включить в список. Поэтому восстановление можно выполнить последовательным повторением каждой варианты.

1. Складываем все частоты: 3 + 5 + 2 + 4 = 14. Значит, всего было 14 наблюдений.

2. Наибольшая частота равна 5, и она соответствует варианте 2. Следовательно, чаще всего встречается значение 2.

3. Записываем 1 три раза, 2 пять раз, 3 два раза и 4 четыре раза. Например, возможный набор: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Ответ: 14 наблюдений; наиболее частая варианта — 2; возможный набор приведён в третьем шаге.

Типичные ошибки

Ошибка — записать одинаковые значения как разные варианты, например внести число 3 в таблицу несколько раз. Это происходит, когда ученик переносит исходный список, не отделяя значения от повторов. В таблице вариантов каждое различное значение должно встретиться только один раз. Проверь себя: если две строки содержат одинаковое значение, объедини их и сложи соответствующие повторы.

Иногда пропускают варианту, которая встретилась только один раз, потому что она кажется несущественной. Но её частота равна 1, и это тоже часть данных. Удали из списка мысленно такую запись — и число наблюдений уже не совпадёт с суммой частот. Поэтому при составлении таблицы проверяй каждое значение, даже если оно встретилось всего однажды.

Частоту могут принять за саму варианту: например, записать число повторений вместо значения признака. Путаница появляется потому, что оба числа стоят рядом, хотя отвечают на разные вопросы. Варианта отвечает на вопрос «какое значение?», а частота — «сколько раз оно встретилось?». Перед заполнением строки назови значение, затем отдельно пересчитай его появления.

Ещё одна ошибка — неверно сложить частоты или не проверить сумму. Тогда в таблице может потеряться наблюдение, хотя отдельные строки выглядят правдоподобно. Пересчитай частоты и сравни их сумму с количеством исходных данных. Если числа не равны, проверь каждую варианту и её повторы по исходному списку.

Связь с другими темами

Для работы с таблицами частот нужно уметь считать и сравнивать натуральные числа, упорядочивать числовые значения и внимательно читать список данных. Эти навыки помогают верно выделить варианты и проверить подсчёты. Таблицы частот применяют при анализе статистических данных и подготовке диаграмм: по ним легче увидеть, какие значения встречаются чаще. Позже они пригодятся и при изучении вероятности случайных событий, когда нужно учитывать результаты наблюдений.

Что запомнить

• Варианта — отдельное значение признака.
• Частота показывает, сколько раз встретилась варианта.
• В таблице каждую варианту записывают один раз.
• Варианты обычно располагают в порядке возрастания.
• Сумма всех частот равна числу наблюдений.
• По таблице можно сравнивать частоты вариант и находить наиболее часто встречающуюся.