§ 27. Деление одночлена на одночлен  

Определения и обозначения

Частным одночленов называют результат деления одного одночлена на другой. Например, в записи 12x³ : 3x частное — выражение, которое получится после деления. Такая операция помогает сокращать повторяющиеся множители и упрощать алгебраические выражения.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель, включая знак. В одночлене −5a²b коэффициент равен −5, а буквенная часть — a²b. При делении коэффициенты рассматривают отдельно от переменных, поэтому важно не потерять знак и правильно выполнить деление чисел.

Буквенная часть одночлена состоит из переменных, возведённых в степени. Когда делят степени с одинаковым основанием, их показатели вычитают: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, если m ≥ n. Это правило показывает, сколько множителей с основанием a останется после сокращения.

Перед вычислениями одночлены удобно записать в стандартном виде: сначала числовой коэффициент, затем произведение степеней различных переменных. Например, произведение 2ab · 3a можно записать как 6a²b. Стандартная запись помогает увидеть коэффициенты и показатели, которые нужно сопоставить.

Как это устроено

Одночлен — это произведение, поэтому его можно представить как числовой множитель и отдельные множители-переменные. При делении произведений можно разделить числовые коэффициенты, а затем разобраться с каждым одинаковым основанием отдельно. Именно поэтому деление одночленов сводится к нескольким простым действиям, а не требует особого способа вычисления целиком.

Правило для степеней возникает из сокращения множителей. Например, a⁵ : a² означает деление произведения a · a · a · a · a на a · a. Два одинаковых множителя сокращаются, и остаются три множителя a, то есть a³; поэтому a⁵ : a² = a⁵⁻².

Показатели степеней не делят, потому что они показывают количество множителей, а не сами множители. В примере a⁵ : a² сокращаются два из пяти множителей, оставляя три, а не два с половиной или какое-либо другое частное показателей. Поэтому для одинакового основания верно именно вычитание: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

Чтобы результат был одночленом, коэффициент делителя должен быть ненулевым, а показатель каждой переменной в делимом — не меньше соответствующего показателя в делителе. Тогда после вычитания получаются только неотрицательные показатели. Если, например, у x в делимом показатель 2, а в делителе 4, разность 2 − 4 отрицательна, и частное не будет одночленом.

Вычисления удобно выполнять по порядку: привести оба выражения к стандартному виду, разделить коэффициенты, вычесть показатели у одинаковых переменных и записать результат. Переменная, которая есть только в делимом, сохраняется с прежним показателем, так как её множители нечему сокращать. В конце проверь знак коэффициента и то, что показатели в частном неотрицательны.

Правило деления одночлена на одночлен

Сначала найди в таблице коэффициенты и переменные, которые встречаются в обоих одночленах. Затем выполни указанное действие и проверь условие в последнем столбце. Если переменная есть только в делимом, не удаляй её из результата.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 18a⁵b³ : (−6a²b). Сначала сравним части одночленов: коэффициенты делятся, а основания a и b есть в обоих выражениях. Показатели в делимом не меньше соответствующих показателей в делителе, поэтому ожидаем одночлен.

1. Разделим коэффициенты: 18 : (−6) = −3.
2. Для a вычтем показатели: a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³.
3. Для b получим b³ : b = b³⁻¹ = b², затем объединим части.

Ответ: −3a³b². Минус появился потому, что положительный коэффициент делили на отрицательный. Показатели 3 и 2 показывают число оставшихся множителей каждой переменной.

Задача 2. Вычислите (−24x⁴y³z²) : (8xy²z). Здесь нужно отдельно проследить за знаком, коэффициентами и каждой из трёх переменных. Все переменные встречаются в обоих одночленах, а показатели делимого не меньше показателей делителя.

1. Разделим коэффициенты: −24 : 8 = −3.
2. Для x: x⁴ : x = x⁴⁻¹ = x³; для y: y³ : y² = y³⁻² = y.
3. Для z: z² : z = z²⁻¹ = z, после чего запишем произведение полученных частей.

Ответ: −3x³yz. Проверка знака даёт минус, поскольку знаки коэффициентов разные. Все показатели в результате неотрицательны, значит, ответ действительно является одночленом.

Задача 3. Определите, будет ли частное одночленом, и упростите 12x²y³ : 3x⁴y. Коэффициенты разделить можно, но прежде чем записывать результат, сравним показатели у одинаковых переменных. Для x показатель в делимом меньше, чем в делителе.

1. Для коэффициентов получаем 12 : 3 = 4.
2. Для x вычитание даёт x²⁻⁴ = x⁻², то есть отрицательный показатель.
3. Для y получаем y³⁻¹ = y²; проверяем, может ли всё выражение быть одночленом.

Ответ: частное не является одночленом. Отрицательный показатель x показывает, что x находится в знаменателе: результат можно представить как 4y²/x², но это уже не одночлен. Поэтому нельзя записывать его как одночлен, даже если остальные части выражения упрощаются.

Типичные ошибки

Первая ошибка — делить показатели степеней, например считать, что a⁶ : a² = a³. Так делают, потому что переносят на степени правило деления чисел, забывая смысл показателя как количества множителей. Проверь себя раскрытием степеней: после сокращения двух множителей из шести останется четыре, значит, ответ a⁴.

Вторая ошибка — вычитать показатели в обратном порядке. В записи делимое : делитель сначала берут показатель делимого, а затем вычитают показатель делителя. Проверка простая: в примере a⁵ : a² должно остаться три множителя, а не получиться отрицательная степень.

Третья ошибка — забыть разделить коэффициенты или неверно определить знак результата. Это случается, когда внимание сосредоточено на буквенной части, а числа считают автоматически. Раздели коэффициенты отдельной строкой и проверь правило знаков: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.

Четвёртая ошибка — назвать частное одночленом, хотя у переменной появился отрицательный показатель. Например, при x² : x⁴ получается x⁻², а такая степень не входит в стандартный вид одночлена. Перед записью ответа сравни показатели каждой переменной и проверь, что все разности неотрицательны.

Связь с другими темами

Для деления одночленов нужно уметь записывать их в стандартном виде и умножать одночлены, а также знать свойство степеней с одинаковыми основаниями. Эти знания объясняют, какие множители сокращаются и почему показатели вычитаются. Само деление пригодится при упрощении выражений, сокращении алгебраических дробей и решении уравнений. В следующих темах оно помогает быстрее приводить выражения к удобному виду.

Что запомнить

• Перед делением приведи одночлены к стандартному виду.
• Коэффициенты раздели отдельно.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычти.
• Показатель в делимом должен быть не меньше соответствующего показателя в делителе, если частное должно быть одночленом.
• Переменная, имеющаяся только в делимом, остаётся в частном.
• Проверь знак и показатели полученного одночлена.