"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Одночлены — простые алгебраические выражения, из которых составляют многочлены и формулы. При их умножении числовые множители перемножают, а показатели одинаковых переменных складывают. Чтобы возвести одночлен в степень, в эту степень возводят его коэффициент, а показатели переменных умножают на показатель степени. Эти правила помогают быстро упрощать выражения и не терять знаки и степени.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — произведение числового множителя и одной или нескольких переменных в неотрицательных целых степенях. Например, 5x²y и −3a — одночлены; числа 7 и переменная b тоже считаются одночленами. Это понятие помогает узнавать выражения, которые можно умножать по простым правилам.
Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовой множитель стоит первым, а одинаковые переменные объединены в степени. Например, выражение x · 4y · x записывается как 4x²y. Такая запись делает вид одночлена понятным и позволяет легко сравнивать выражения и выполнять действия.
Коэффициент одночлена — его числовой множитель в стандартном виде. Если множитель не записан, коэффициент равен 1, а у одночлена −x он равен −1. Коэффициент нужен, чтобы отдельно выполнять действия с числами и правильно определять знак результата.
Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в его стандартном виде. Например, степень 3a²b⁴ равна 2 + 4 = 6; у числа 8 степень равна 0. Степень помогает оценивать выражение и быстро находить степень произведения.
Чтобы умножить одночлены, перемножают их числовые коэффициенты и записывают произведение переменных. Затем результат приводят к стандартному виду: числовой множитель ставят первым, а одинаковые переменные объединяют. Например, произведение 2x · 3y сначала даёт 6xy, и эта запись уже стандартная.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, потому что каждая степень обозначает повторение одного и того же множителя. Например, x² · x³ — это два множителя x и ещё три множителя x, всего пять. Поэтому x² · x³ = x⁵, и при умножении одночленов показатели одной и той же переменной складывают.
Знак произведения определяется знаками коэффициентов. Это следует из правил умножения чисел: произведение двух положительных или двух отрицательных чисел положительно, а произведение чисел с разными знаками отрицательно. Поэтому перед записью результата полезно отдельно проверить знак коэффициента.
Степень произведения одночленов равна сумме их степеней. Показатели каждой повторяющейся переменной при умножении складываются, а значит, складывается и сумма всех этих показателей. Например, у x²y степени 3, у xy³ степени 4, а у их произведения x³y⁴ — степень 7.
Чтобы возвести одночлен в натуральную степень, нужно возвести в эту степень коэффициент и каждую переменную. Переменную в произведении повторяют указанное число раз, поэтому её показатель умножается на показатель степени: (a²)³ = a⁶. Например, (−2x²y)³ = (−2)³x⁶y³ = −8x⁶y³.
| Действие | Правило | Пример | Результат |
|---|---|---|---|
| Умножение коэффициентов | Числовые множители перемножают | (−2) · 3 | −6 |
| Умножение степеней с одинаковым основанием | Показатели складывают: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ | x² · x³ | x⁵ |
| Умножение одночленов и приведение к стандартному виду | Перемножают коэффициенты, показатели одинаковых переменных складывают | 2a² · 3a | 6a³ |
| Возведение коэффициента в степень | Коэффициент возводят в указанную степень | (−2)³ | −8 |
| Возведение переменной в степень | Показатель переменной умножают на показатель степени | (x²)³ | x⁶ |
Пользуйся таблицей как порядком действий: сначала выполни действие с коэффициентами, затем отдельно обработай каждую переменную. После этого проверь знак и запиши выражение в стандартном виде. В строках про степень ориентируйся на то, возводится ли в неё число или переменная.
Оба одночлена содержат одинаковую переменную a, поэтому её показатели можно объединить. Сначала перемножим коэффициенты, а затем сложим показатели степеней при a. Такой порядок помогает не перепутать действия с числами и переменными.
Ответ: 12a⁵.
В этом примере важно проследить за знаком и не объединять показатели разных переменных. Коэффициенты −2 и 3 имеют разные знаки, поэтому коэффициент произведения будет отрицательным. Переменная x встречается в обоих множителях, как и y, значит, показатели каждой из них складываются отдельно.
Ответ: −6x³y⁴.
Сначала раскроем каждую степень, иначе легко забыть умножить показатели переменных на показатель степени. Возводить нужно не только переменные, но и коэффициент −2. После этого получатся два одночлена, которые можно перемножить по обычному правилу.
Ответ: −8a¹²b⁷.
При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели, например ошибочно считают x² · x³ равным x⁶. Так путают правило умножения степеней с правилом возведения степени в степень. Проверь рассуждение через повторение множителей: x² · x³ содержит пять множителей x, поэтому ответ x⁵.
При возведении одночлена в степень можно возвести переменные, но забыть про коэффициент. Ошибка возникает, если считать, что степень относится только к буквам, хотя она относится ко всему одночлену в скобках. Для проверки отдельно выпиши действие с коэффициентом: например, (2x)³ = 2³x³ = 8x³.
Ещё одна ошибка — складывать показатель переменной с показателем степени вместо умножения. Например, в (x²)³ некоторые получают x⁵, хотя здесь три раза повторяется x², то есть всего шесть множителей x. Проверяй правило на записи из повторяющихся скобок: (x²)³ = x² · x² · x² = x⁶.
Отрицательный коэффициент при возведении в чётную степень иногда оставляют отрицательным. Это происходит, если не учитывают, что чётное число одинаковых отрицательных множителей дают положительный результат. Проверяй знак на примере: (−2)² = (−2) · (−2) = 4, а (−2)³ = −8.
Для работы с одночленами понадобятся знания о том, что такое одночлен, и о степенях с натуральным показателем. Нужно также уверенно умножать целые числа, потому что знаки и коэффициенты подчиняются обычным правилам умножения чисел. Если сомневаешься в знаке результата, сначала проверь только числовую часть.
Умножение одночленов помогает упрощать выражения, в которых есть несколько множителей с переменными. Эти правила понадобятся при умножении многочленов и работе с формулами сокращённого умножения. Чем увереннее ты применяешь их к отдельным одночленам, тем проще выполнять более длинные преобразования.
Как понять, что одночлен записан в стандартном виде?
В стандартной записи числовой коэффициент стоит первым, а одинаковые переменные объединены в степени. Например, 6x²y — стандартный вид, а x · 3y · x ещё нужно упростить до 3x²y.
Что делать, если у переменной в одном из одночленов нет показателя?
Считать, что показатель равен 1: например, x = x¹. При умножении x² и x показатели складываются: x² · x = x³.
Почему при умножении степеней показатели складываются?
Степень показывает, сколько раз основание входит в произведение. Например, x² · x³ = (x · x) · (x · x · x) = x⁵, поэтому показатели 2 и 3 складываются.
Как определить знак одночлена после возведения в степень?
Посмотри на знак коэффициента и на показатель степени. Положительный коэффициент остаётся положительным, а отрицательный при чётной степени становится положительным и при нечётной остаётся отрицательным.
Что нужно возводить в степень в одночлене?
В степень нужно возвести и коэффициент, и каждую переменную. Показатель каждой переменной при этом умножается на показатель степени одночлена.
§ 26. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень
