22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней, например 4a²b или −3xy³. Произведение может состоять и из одного множителя: 7x — одночлен. Сумму вроде a + b одночленом не считают, потому что её части соединены сложением, а не умножением. Понимание того, какие выражения являются одночленами, помогает выбрать подходящие правила преобразования.

Стандартный вид одночлена — произведение числового коэффициента и степеней различных переменных, например 6a²b³. Если переменная повторяется, её записывают один раз, складывая показатели: a · a² = a³. Переменные обычно располагают в удобном порядке, чтобы записи было проще сравнивать. Объединение одинаковых переменных делает вид выражения короче и помогает сразу увидеть его степень.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В записи −5x² коэффициент равен −5: знак минус входит в него, а не относится отдельно к переменной. Коэффициент 1 обычно не пишут, поэтому x² означает 1 · x²; коэффициент −1 записывают знаком минус: −x². Это нужно учитывать при умножении и возведении в степень, чтобы не потерять знак.

Степень одночлена в стандартном виде — сумма показателей степеней всех его переменных: у 2a³b² степень равна 3 + 2 = 5. Числовой коэффициент в эту сумму не входит. Степень ненулевого числа равна нулю, потому что в нём нет переменных; например, степень числа 8 равна 0. Степень показывает общий показатель переменных в одночлене и помогает описывать результат преобразования.

Как это устроено

При умножении одночленов сначала перемножают их числовые коэффициенты, а затем объединяют одинаковые переменные. Показатели одинаковых переменных складывают, потому что степени с одним основанием раскрываются в повторяющиеся множители: a² · a³ = (a · a) · (a · a · a) = a⁵. Это то же правило, что и для произведения степеней с одинаковым основанием. Переменные с разными буквами не объединяют: у a²b остаются и a², и b.

Результат умножения одночленов снова является одночленом: множители по-прежнему соединены только умножением. Чтобы получить стандартный вид, перемножьте коэффициенты и запишите каждую переменную один раз, сложив её показатели. После этого коэффициентом результата будет полученное число вместе со знаком. Степень результата находят сложением показателей всех переменных, уже записанных в стандартном виде.

Возведение одночлена в натуральную степень означает умножение его самого на себя указанное число раз. Например, (ab)³ = (ab) · (ab) · (ab) = a³b³: множители a и b повторяются по три раза каждый. Поэтому в степень возводят и коэффициент, и каждую переменную, а не только буквенную часть. В общем виде (caᵐbⁿ)ᵖ = cᵖaᵐᵖbⁿᵖ.

Если коэффициент отрицательный, знак результата зависит от числа одинаковых отрицательных множителей. При чётном показателе они разбиваются на пары, каждая пара даёт положительное число; при нечётном остаётся один отрицательный множитель. Поэтому (−a)² положительно, а (−a)³ отрицательно. При возведении переменных их показатели умножают на показатель степени: (x²)³ = x⁶, потому что x² повторяется три раза.

Первая степень не меняет одночлен: любое выражение, взятое один раз, остаётся самим собой. Нулевая степень ненулевого одночлена равна 1: это согласуется с правилом степеней, поскольку частное одинаковых ненулевых степеней равно 1. Нулевой одночлен в нулевую степень не возводят, так как для него это правило неприменимо. Уточнение об ненулевом выражении помогает не использовать формулу там, где она не определена.

Правила умножения и возведения одночлена в степень

В таблице собраны действия с коэффициентами и показателями переменных. Сначала выберите строку, соответствующую выражению, а затем проверьте, как меняются числовая часть и буквенная часть. Особенно полезно сверять знак и показатели: это помогает заметить ошибку до записи ответа.

Разбор задач

Задача 1. Умножить и записать в стандартном виде: 3a²b · (−2ab³). Здесь есть одинаковые переменные a и b, поэтому для каждой нужно объединить показатели. Сначала отдельно обработаем числовую часть, чтобы знак результата не потерялся. Затем запишем переменные в стандартном виде.

1. Перемножаем коэффициенты: 3 · (−2) = −6.
2. Для переменной a складываем показатели: a² · a = a²⁺¹ = a³.
3. Для переменной b также складываем показатели: b · b³ = b¹⁺³ = b⁴.
4. Объединяем множители: получаем −6a³b⁴.

Ответ: −6a³b⁴. Проверка: коэффициент отрицательный, поскольку перемножили числа с разными знаками, а степень результата равна 3 + 4 = 7. Буквы a и b сохранились отдельно, так как это разные переменные.

Задача 2. Возвести одночлен −2x²y в третью степень. Третья степень означает три одинаковых множителя (−2x²y). Поэтому нужно возвести в куб и число −2, и переменные x² и y. Показатель нечётный, значит отрицательный знак сохранится.

1. Записываем возведение каждого множителя: (−2x²y)³ = (−2)³ · (x²)³ · y³.
2. Вычисляем степень коэффициента: (−2)³ = −8.
3. При возведении степени в степень показатели перемножаются: (x²)³ = x⁶, а y³ остаётся y³.
4. Записываем одночлен в стандартном виде: −8x⁶y³.

Ответ: −8x⁶y³. Знак отрицательный, потому что коэффициент −2 умножается сам на себя нечётное число раз. Степень результата равна 6 + 3 = 9.

Задача 3. Упростить выражение (−3a²b)² · 2ab³ и определить степень результата. Удобнее сначала возвести первый одночлен в квадрат, а потом умножить получившийся одночлен на второй. Такой порядок отделяет правило степени от правила произведения. В конце приведём запись к стандартному виду и найдём степень.

1. Возводим каждый множитель в квадрат: (−3a²b)² = (−3)² · (a²)² · b² = 9a⁴b².
2. Умножаем коэффициенты: 9 · 2 = 18.
3. Объединяем одинаковые переменные: a⁴ · a = a⁵, а b² · b³ = b⁵.
4. Получаем стандартный вид 18a⁵b⁵ и складываем показатели: 5 + 5 = 10.

Ответ: 18a⁵b⁵, степень одночлена — 10. При возведении в квадрат отрицательный коэффициент стал положительным. В произведении показатели a и b складывались каждый со своим показателем: показатели разных переменных между собой не складывали.

Типичные ошибки

При умножении одинаковых переменных иногда перемножают показатели: например, ошибочно записывают a² · a³ = a⁶. Так происходит из-за смешения двух правил: при умножении степеней показатели складывают, а при возведении степени в степень — перемножают. Проверка через раскрытие скобок показывает, что a² · a³ содержит пять множителей a, значит результат a⁵.

При возведении одночлена в степень могут возвести переменные, но забыть про коэффициент или знак. Например, (−2x)² — это не −2x², потому что множитель −2 тоже повторяется дважды. Раскройте скобки как произведение одинаковых одночленов: (−2x)(−2x) = 4x². Такой способ особенно надёжен, если неясно, каким будет знак.

Ещё одна ошибка — складывать показатели разных переменных, например считать, что a²b³ превращается в одночлен степени с переменной ab⁵. Складывают показатели только у степеней с одинаковым основанием: a с a, b с b. Чтобы проверить запись, сгруппируйте отдельно все множители каждой буквы; если буквы различаются, их степени остаются при своих переменных.

Отрицательный коэффициент иногда не заключают в скобки перед возведением в чётную степень и из-за этого сохраняют минус. Запись (−3a)² означает квадрат всего произведения, а не только a: (−3)² · a² = 9a². Проверяйте, что именно заключено в скобки, и определяйте знак по чётности показателя. Скобки помогают увидеть, какие множители возводятся в степень.

Связь с другими темами

Для преобразований нужны умножение целых чисел, правила действий со знаками и свойства степеней с натуральными показателями. Если эти правила пока вызывают затруднения, полезно отдельно потренироваться на числах и степенях с одной переменной. Умножение одночленов и возведение их в степень затем применяются при преобразовании многочленов, раскрытии скобок и упрощении алгебраических выражений. Уверенное владение правилами позволяет выполнять такие действия по частям и проверять каждый шаг.

Что запомнить

• При умножении одночленов коэффициенты перемножают.
• Показатели одинаковых переменных при умножении складывают.
• При возведении одночлена в степень в эту степень возводят и коэффициент, и каждую переменную.
• Показатели переменных при возведении одночлена в степень умножают на показатель степени.
• При чётной степени отрицательный коэффициент даёт положительный результат, при нечётной — отрицательный.
• Степень одночлена в стандартном виде равна сумме показателей его переменных.