22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень

Определения и обозначения

Произведение одночленов — результат умножения двух или нескольких одночленов. При вычислении числовые коэффициенты перемножают, а одинаковые буквенные множители объединяют с помощью свойств степеней. Например, a² · a³ = a⁵, потому что вместе в произведении пять множителей a. Это правило позволяет сделать запись короче и удобнее для дальнейших действий.

Стандартный вид одночлена — произведение числового коэффициента и степеней различных переменных, например 5a²b³. Каждую переменную в такой записи указывают один раз, а её показатель ставят при ней. После умножения одночленов результат приводят к стандартному виду, чтобы было легко видеть коэффициент и буквенную часть. Это также помогает правильно определить степень одночлена.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в его стандартном виде. Например, степень одночлена 7x²y³ равна 2 + 3 = 5. Ненулевой числовой коэффициент при подсчёте не учитывают: у одночлена 7x²y³ степень та же, что у x²y³. Степень нужна, чтобы характеризовать буквенную часть одночлена одним числом.

Возведение одночлена в степень — умножение этого одночлена на себя указанное число раз. Так, (ab)³ означает ab · ab · ab. Показатель степени относится ко всему выражению в скобках, поэтому возводят в степень и коэффициент, и все буквенные множители. Скобки помогают не перепутать возведение всего одночлена в степень с возведением только одного его множителя.

Как это устроено

При умножении одночленов сначала удобно отдельно рассмотреть числа и буквы. Коэффициенты перемножают по обычным правилам арифметики, а одинаковые переменные группируют. Например, x² · x³ — это произведение двух множителей x на ещё три множителя x, всего их пять, поэтому получается x⁵. Так объясняется правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.

Если в одночленах встречаются разные переменные, объединить их в одну степень нельзя. Например, у выражения a²b · ab³ две переменные: для a складываем показатели 2 и 1, а для b — 1 и 3. Получается a³b⁴. Буквы обычно записывают в одном порядке, а коэффициент ставят перед ними: так результат сразу приобретает стандартный вид.

При возведении одночлена в натуральную степень он повторяется в произведении столько раз, каков показатель. Поэтому можно возвести в эту степень каждый множитель отдельно: (3ab²)² = 3² · a² · (b²)². Такой приём следует из перестановки и группировки множителей: все коэффициенты окажутся рядом, все одинаковые буквы тоже. Он упрощает вычисления и помогает не пропустить буквенную часть.

Чтобы упростить буквенную часть после возведения в степень, используют правило степени степени: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Например, (b²)³ = b² · b² · b² = b⁶, то есть показатель 2 повторяется три раза и умножается на 3. Поэтому при возведении одночлена в степень показатели его переменных умножают на внешний показатель. Это не то же самое, что при обычном умножении одночленов, где показатели одинаковых переменных складывают.

Коэффициент тоже возводится в степень как целое число, включая его знак. Если отрицательное число умножить на себя чётное число раз, отрицательные знаки образуют пары и результат будет положительным; при нечётном числе множителей один минус останется. Например, (−2)² = 4, а (−2)³ = −8. Скобки показывают, что знак минус входит в коэффициент, который возводится в степень.

Правила умножения одночленов и возведения одночлена в степень

Пользуйся таблицей по порядку: сначала выбери строку, соответствующую действию, затем отдельно обработай коэффициент и переменные. После преобразования приведи запись к стандартному виду. Если нужно найти степень одночлена, воспользуйся последней строкой.

Разбор задач

Задача 1. Приведите к стандартному виду произведение 3a²b · (−2ab³). Сначала найдём числовой коэффициент, затем отдельно объединим одинаковые переменные. У переменных a и b свои группы множителей, поэтому их показатели складываются по отдельности.

1. Перемножаем коэффициенты: 3 · (−2) = −6.
2. Для переменной a складываем показатели: a² · a = a²⁺¹ = a³.
3. Для переменной b складываем показатели: b · b³ = b¹⁺³ = b⁴.
4. Записываем коэффициент и буквенную часть вместе: −6a³b⁴.

Ответ: −6a³b⁴. Запись стандартная: коэффициент стоит перед буквами, а каждая переменная указана один раз.

Задача 2. Возведите одночлен (−2x²y)³ в степень и укажите степень полученного одночлена. Внешняя степень относится ко всему одночлену, значит, нужно возвести в третью степень каждый множитель. После упрощения буквенной части сложим показатели, чтобы определить степень результата.

1. Разделяем произведение на множители: (−2)³ · (x²)³ · y³.
2. Вычисляем коэффициент: (−2)³ = −8, поскольку показатель нечётный.
3. Применяем правило степени степени: (x²)³ = x⁶; множитель y даёт y³.
4. Получаем −8x⁶y³, а степень одночлена равна 6 + 3 = 9.

Ответ: −8x⁶y³, степень одночлена — 9. Коэффициент −8 в сумму показателей не входит.

Задача 3. Упростите выражение (2a³b)² · (−3ab²) и найдите степень полученного одночлена. Здесь есть два действия, поэтому сначала выполняем возведение в степень, а уже потом умножаем полученные одночлены. Такой порядок не даёт потерять показатель или знак коэффициента.

1. Возводим первый одночлен в квадрат: (2a³b)² = 2² · a⁶ · b² = 4a⁶b².
2. Умножаем коэффициенты: 4 · (−3) = −12.
3. Для a складываем показатели: a⁶ · a = a⁷; для b: b² · b² = b⁴.
4. Получаем −12a⁷b⁴. Складываем показатели переменных: 7 + 4 = 11.

Ответ: −12a⁷b⁴, степень полученного одночлена — 11.

Типичные ошибки

При умножении одночленов иногда перемножают показатели одинаковых переменных: например, ошибочно считают a² · a³ = a⁶. Так делают, перенося правило возведения степени в степень на другое действие. Проверь себя, раскрыв степени как произведения: всего множителей a будет пять, значит, ответ a⁵.

При возведении одночлена в степень могут возвести только коэффициент, оставив буквенную часть без изменений. Ошибка возникает, если не заметить, что показатель относится ко всему одночлену в скобках. Для проверки раскрой скобки как повторное умножение: в (xy)² переменная x и переменная y встречаются по два раза, поэтому получается x²y².

Отрицательный коэффициент иногда возводят в степень так, будто знак минус не относится к числу. Причина — отсутствие скобок или невнимание к чётности показателя: например, (−3)² = 9, а не −9. Перед вычислением отметь, что именно находится в скобках, и проверь, чётный показатель или нечётный.

Ещё одна ошибка — складывать показатели у разных переменных или перемножать показатели одинаковых переменных при обычном умножении. Обычно это происходит, когда правила степеней смешивают и не группируют буквы отдельно. Проверяй каждую переменную по отдельности: показатели складываются только у одинаковых оснований, а, например, a²b³ так и остаётся произведением степеней a и b.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужны понятие одночлена, умножение чисел и свойства степеней с одинаковым основанием. Если эти правила знакомы, преобразования сводятся к аккуратному разбору коэффициентов и букв. Дальше умножение одночленов пригодится при преобразовании многочленов и сокращении алгебраических выражений. Оно также помогает упростить запись перед вычислением значения выражения.

Что запомнить

• При умножении одночленов коэффициенты перемножают.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При возведении произведения в степень в эту степень возводят каждый множитель.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• Знак степени отрицательного коэффициента зависит от чётности показателя.
• Степень одночлена стандартного вида равна сумме показателей всех переменных.