"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Одночлен — выражение, в котором числа и переменные перемножаются, а переменные возводятся в целые неотрицательные степени. Его удобно записывать в стандартном виде: сначала числовой множитель, затем степени разных переменных. По такой записи легко определить коэффициент и степень одночлена. Умение приводить выражения к стандартному виду пригодится при преобразовании алгебраических выражений и действиях с многочленами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней переменных. Например, 5a²b и −3xy — одночлены: в них множители соединены умножением. Отдельное число тоже считается одночленом, потому что может быть произведением из одного множителя.
Отдельная переменная также является одночленом: букву можно представить как произведение, состоящее из неё одной. Стандартный вид одночлена — запись в виде произведения числового множителя и степеней различных переменных, например 4a²b. Такая форма помогает сразу видеть, какие множители входят в выражение и сколько раз используется каждая переменная.
Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В записи 7x² коэффициент равен 7, а в записи x², где число не написано, он равен 1. Если перед буквенной частью стоит только знак минус, коэффициент равен −1, например у −ab.
Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в его стандартном виде. У одночлена 3a²b показатель при a равен 2, а при b — 1, поэтому степень равна 3. Степень показывает общий порядок буквенной части и помогает сравнивать одночлены.
Чтобы распознать одночлен, проверьте, как соединены его части: числа и переменные должны перемножаться. Показатели степеней переменных могут быть только целыми неотрицательными числами, например 0, 1, 2. Выражение a + b не подходит, потому что в нём переменные складываются, а 1/a не подходит, потому что переменная оказывается в знаменателе и равносильна степени −1.
Одинаковые переменные при умножении объединяют, потому что умножение степеней с одним и тем же основанием можно заменить сложением показателей. Например, x² · x³ означает пять множителей x, поэтому получается x⁵. Показатели не перемножают: это правило действует именно при умножении степеней с одинаковым основанием.
Чтобы привести одночлен к стандартному виду, сначала перемножьте все числовые множители, а затем соберите отдельно степени каждой переменной. Например, буквенную часть удобно записывать так: сначала a, затем b, затем c, если такие переменные есть. Благодаря этому одинаковые одночлены легче распознавать и сравнивать.
Знак и число перед буквенной частью относятся к коэффициенту, даже если число не записано явно. Запись −xy означает −1 · x · y, поэтому коэффициент здесь отрицательный и равен −1. Если перед буквами ничего нет, подразумевается умножение на 1, а не отсутствие коэффициента.
Степень находят уже после приведения одночлена к стандартному виду: складывают показатели всех переменных. Например, у 2a³b²c показатель равен 3 + 2 + 1, значит, степень одночлена равна 6. Ненулевое число имеет степень 0, потому что в нём нет переменных; нулевой одночлен в этом правиле не рассматривается.
В таблице собраны основные признаки одночлена и способы определить его части. Сначала проверьте, является ли выражение произведением, а затем найдите коэффициент и показатели. Для вычисления степени сложите показатели переменных, не включая коэффициент.
| Что рассматриваем | Как записать или определить | Пример |
|---|---|---|
| Одночлен | Произведение чисел и степеней переменных | 5a²b |
| Стандартный вид | Числовой множитель и степени различных переменных | −6a²b³ |
| Коэффициент | Числовой множитель; если он не записан, это 1 или −1 | У −ab коэффициент −1 |
| Показатели степеней переменных | Числа при переменных в стандартном виде | В 4x³y²: 3 и 2 |
| Степень одночлена | Сумма показателей переменных | Степень 4x³y² равна 5 |
Определите, является ли выражение 5a²b одночленом и укажите его коэффициент. Здесь нет сложения или деления на переменную, а буквы перемножаются. Показатели 2 и 1 — целые неотрицательные числа.
Ответ: 5a²b — одночлен, его коэффициент равен 5. Проверка показывает, что все условия выполнены, а коэффициентом является именно число, а не буквенная часть.
Приведите одночлен 3x · 2x²y к стандартному виду. В произведении есть два числовых множителя и две одинаковые переменные x. Поэтому числовую и буквенную части удобно преобразовать отдельно.
Ответ: 6x³y. Проверить результат можно по множителям: число 6 получилось из 3 и 2, три множителя x — из x и x², а множитель y сохранился.
Запишите в стандартном виде −2ab · 3a²b³ и найдите степень полученного одночлена. Сначала нужно учесть знак и перемножить числовые множители. Затем объединить отдельно все множители a и все множители b.
Ответ: стандартный вид — −6a³b⁴, степень одночлена равна 7. Коэффициент −6 не включаем в сумму показателей, а знак минус сохраняем перед буквенной частью.
Считать выражение с переменными в сумме одночленом — значит спутать один множитель с суммой нескольких слагаемых. Так ошибаются, потому что и там и там видны буквы и числа. Проверьте, соединены ли части знаками умножения: выражение a + b одночленом не является.
При умножении степеней одинаковых переменных иногда перемножают показатели вместо сложения. Причина — привычка связывать слово «умножение» с действием над числами в показателях. Проверьте себя на x² · x³: в произведении пять множителей x, поэтому результат x⁵, а не x⁶.
Если не включить знак минус в коэффициент, значение одночлена изменится на противоположное. Это происходит, когда знак воспринимают как отдельную запись, а не часть числового множителя. Для проверки запишите −ab как −1 · a · b: коэффициент равен −1.
Нельзя находить степень только по наибольшему показателю или учитывать одну переменную. Так делают, когда забывают, что степень одночлена характеризует всю буквенную часть. Сложите показатели всех переменных: например, у a⁴b² степень равна 4 + 2 = 6.
Для работы с одночленами нужны понятия переменной и степени с натуральным показателем. Также пригодится правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: показатели при этом складываются. Если понимать это правило, приведение к стандартному виду становится последовательным и понятным действием.
Стандартная запись помогает сравнивать одночлены и выполнять дальнейшие преобразования алгебраических выражений. В частности, она пригодится при действиях с многочленами, которые состоят из нескольких одночленов. Поэтому навык объединять коэффициенты и одинаковые переменные будет нужен и в следующих темах.
Почему отдельное число считается одночленом?
Число можно считать произведением, состоящим из одного множителя. Например, 7 — одночлен, его коэффициент равен 7. Ненулевое число можно записать как 7 · a⁰, поскольку a⁰ = 1.
Как понять, что выражение не является одночленом?
Проверьте, не складываются ли в выражении отдельные слагаемые и не делится ли оно на переменную. Например, a + b не одночлен, потому что содержит сумму. Переменные в одночлене перемножаются, а их показатели являются целыми неотрицательными числами.
Что делать, если коэффициент одночлена не записан?
Если перед буквенной частью нет числа, коэффициент равен 1. Если перед ней стоит только минус, коэффициент равен −1. Например, у x² коэффициент 1, а у −ab коэффициент −1.
Как привести произведение с одинаковыми переменными к стандартному виду?
Сначала перемножьте числовые множители. Затем для каждой повторяющейся переменной сложите показатели степеней, а буквенную часть запишите в упорядоченном виде. Например, x · x² = x³.
Как найти степень одночлена, если в нём несколько переменных?
Запишите одночлен в стандартном виде и сложите показатели всех переменных. Например, у 4a²b³ степень равна 2 + 3 = 5. Числовой коэффициент в эту сумму не входит.
21. Одночлен и его стандартный вид
