"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Функции y = x² и y = x³ связывают каждое число x с его квадратом или кубом. По таблице значений можно построить графики и увидеть, как меняется y при изменении x. График y = x² — парабола, не опускающаяся ниже оси x; график y = x³ проходит через начало координат и симметричен относительно него. Эти графики помогают сравнивать функции и находить значения по координатной плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = x² каждому значению аргумента x сопоставляет его квадрат. Чтобы найти значение функции, нужно подставить число вместо x и возвести его в квадрат: при x = −3 получаем y = (−3)² = 9. Эта запись помогает быстро понять, какое значение y соответствует выбранному x.
Функция y = x³ сопоставляет каждому x его куб, то есть произведение числа на себя три раза. Например, при x = 2 получаем y = 2³ = 8, при x = −2 получаем y = (−2)³ = −8, а при x = 0 получаем y = 0. Так можно проверить, как знак аргумента влияет на значение функции.
График функции — это множество точек координатной плоскости, у которых абсциссы равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Каждой паре (x; y) соответствует точка, например для y = x² при x = 2 это точка (2; 4). График наглядно показывает, как связаны аргумент и значение функции.
Параболой называют график функции y = x². Её вершина находится в начале координат, то есть в точке (0; 0), а левая и правая части зеркально расположены относительно оси y. Это название и свойства помогают узнавать график и строить его аккуратнее.
Чтобы построить график y = x² или y = x³, сначала выбирают несколько значений x и записывают их в таблицу. Затем для каждого значения вычисляют y по формуле и получают пары (x; y). Эти пары отмечают на координатной плоскости: сначала находят x по горизонтальной оси, затем y по вертикальной. Плавная линия через точки должна соответствовать характеру функции, а не просто соединять точки случайной ломаной.
Для квадрата противоположные числа дают одинаковый результат: например, (−2)² = 2² = 4. Поэтому у точек графика с абсциссами −2 и 2 одна и та же ордината, и они расположены на одинаковом расстоянии от оси y. Такое расположение повторяется для любой пары x и −x. Отражение одной половины графика относительно оси y позволяет получить другую половину.
У куба при смене знака аргумента меняется и знак результата: (−x)³ = −x³. Например, значения при x = 2 и x = −2 равны 8 и −8, поэтому соответствующие точки находятся по разные стороны начала координат. Для любого ненулевого x точкам графика соответствуют противоположные координаты (x; x³) и (−x; −x³). Значит, поворот графика на 180 градусов вокруг начала координат совмещает его с самим собой.
Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому график y = x² не опускается ниже оси x. Для куба результат может быть отрицательным, нулевым или положительным: это зависит от знака x. На графике это видно по расположению точек относительно оси x: у параболы ординаты неотрицательны, а график куба проходит и выше, и ниже этой оси. Так геометрический рисунок показывает множество значений функции.
Если x увеличивается от отрицательных чисел к нулю, значения x² уменьшаются: например, 9, 4, 1, 0. После нуля квадрат начинает увеличиваться, поэтому график сначала идёт вниз, а затем вверх. У куба с увеличением x значения тоже всё время увеличиваются: при переходе от −2 к 2 получаем −8, −1, 0, 1, 8. Поэтому график y = x³ возрастает на всей числовой прямой.
| Свойство | y = x² | y = x³ |
|---|---|---|
| Формула соответствия | Каждому x соответствует x² | Каждому x соответствует x³ |
| Область определения | Все числа | Все числа |
| Множество значений | Неотрицательные числа | Все числа |
| Симметрия графика | Относительно оси y | Относительно начала координат |
| Поведение при увеличении x | Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0 | Возрастает на всей числовой прямой |
| Характерные точки | (0; 0), (−1; 1), (1; 1) | (0; 0), (−1; −1), (1; 1) |
Сначала найдите в таблице нужное свойство, а затем сравните соответствующие ячейки. Например, чтобы понять, может ли функция иметь отрицательное значение, посмотрите строку «Множество значений». Таблица также помогает проверить, правильно ли вы узнали график по его симметрии и поведению.
Задача 1. Составьте таблицу значений функции y = x² для x = −2, −1, 0, 1, 2 и постройте график. Удобно вычислить квадраты всех чисел, а затем использовать равенство значений для противоположных аргументов. Полученные точки следует отметить на координатной плоскости и соединить плавной линией.
Ответ: таблица значений — 4, 1, 0, 1, 4; график — парабола с вершиной (0; 0), симметричная относительно оси y. Построение не должно выглядеть ломаной, потому что между отмеченными точками график тоже непрерывно меняется. Проверьте, что ни одна точка не расположена ниже оси x.
Задача 2. Составьте таблицу значений функции y = x³ для x = −2, −1, 0, 1, 2 и постройте график. Здесь особенно важно правильно определить знак куба отрицательного числа. После вычислений пары точек помогут проверить симметрию относительно начала координат.
Ответ: значения функции — −8, −1, 0, 1, 8; график проходит через начало координат и симметричен относительно него. Он располагается ниже оси x при отрицательных x и выше неё при положительных x. Эти признаки помогают проверить форму построения.
Задача 3. По графикам y = x² и y = x³ определите значения функций при x = −1,5 и x = 1,5, а также найдите x, при которых y = 4 для первой функции и y = 8 для второй. Здесь нужно различать чтение значения функции и поиск аргумента. В первом случае задан x, во втором — y.
Ответ: для y = x² значения при x = −1,5 и 1,5 равны 2,25; для y = x³ — −3,375 и 3,375. Уравнение x² = 4 имеет решения −2 и 2, а x³ = 8 — решение 2. При считывании с рисунка округляйте значения, если точная отметка отсутствует.
Ошибка: считать, что (−a)² = −a². Её допускают, когда не замечают скобки: квадрат отрицательного числа означает умножение числа на себя, например (−3)² = (−3)·(−3) = 9. Запись −3² без скобок обычно означает −(3²) = −9, поэтому проверяйте, какое именно выражение возводится в степень.
Ошибка: считать, что куб отрицательного числа положителен. Это может произойти, если перенести правило квадрата на любую степень, но при кубе остаётся один отрицательный множитель: (−2)³ = −8. Для проверки запишите степень как произведение трёх одинаковых чисел и определите знак результата.
Ошибка: перепутать симметрию графиков. Парабола y = x² симметрична относительно оси y, а график y = x³ — относительно начала координат; смешение этих признаков мешает правильно построить точки. Проверьте пары: у квадрата точки с x и −x имеют одинаковое y, а у куба их координаты противоположны.
Ошибка: отметить несколько точек и соединить их произвольной ломаной. Так график может потерять плавную форму или симметрию, потому что рисунок должен отражать поведение функции и между выбранными точками. Проверьте направление линии и расположение симметричных точек, затем соедините их плавно.
Для работы с этими функциями нужно уметь возводить положительные и отрицательные числа в квадрат и куб, отмечать точки на координатной плоскости и строить график по таблице. Эти навыки используются дальше при изучении уравнений и неравенств, сравнении функций и чтении их свойств по графику. Умение замечать симметрию помогает быстрее строить графики других функций и понимать, как меняется график при преобразованиях.
Почему график y = x² не бывает ниже оси x?
Квадрат любого числа неотрицателен: если x положительное или отрицательное, x² ≥ 0, а при x = 0 получаем ноль. Поэтому все точки графика лежат на оси x или выше неё.
Чем отличаются графики y = x² и y = x³?
График y = x² — парабола с вершиной в начале координат; он симметричен относительно оси y и принимает только неотрицательные значения. График y = x³ проходит через начало координат, симметричен относительно него и может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Почему график y = x² симметричен относительно оси y?
При замене x на противоположное число −x значение квадрата не меняется: (−x)² = x². Поэтому точкам (x; x²) и (−x; x²) соответствуют одинаковые высоты по разные стороны оси y.
Как определить по графику значение функции?
Найдите на горизонтальной оси заданное значение x и проведите от него мысленно вертикаль до графика. Ордината точки пересечения — это значение функции y.
Как по графику найти аргументы, при которых функция принимает заданное значение?
Найдите на вертикальной оси заданное значение y и проведите мысленно горизонтальную линию до графика. Абсциссы точек пересечения этой линии с графиком и будут искомыми значениями x.
23. Функции у = х2 и у = х3 и их графики
