24. О простых и составных числах

Определения и обозначения

Делитель натурального числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 3 — делитель числа 12, потому что 12 : 3 = 4. Это понятие помогает выяснять, на какие равные группы можно разделить число и к какому виду оно относится.

Простое число — натуральное число, большее 1, у которого ровно два натуральных делителя: 1 и само число. Например, у числа 7 делители — 1 и 7. Такое определение позволяет отличить числа, которые нельзя разделить на меньшие натуральные множители, кроме единицы.

Составное число — натуральное число, большее 1, у которого есть делители, отличные от 1 и самого числа. Например, 8 делится на 2 и на 4, поэтому оно составное. Поиск хотя бы одного такого делителя сразу помогает установить, что число не простое.

Число 1 — натуральное число, которое не является ни простым, ни составным. Его единственный натуральный делитель — 1. Это уточнение нужно, чтобы определения простого и составного числа не применяли к числу с неподходящим количеством делителей.

Как это устроено

Чтобы отличить простое число от составного, сначала убедитесь, что число больше 1, а затем посчитайте его натуральные делители. Если делителей ровно два — 1 и само число, оно простое; если есть ещё хотя бы один, оно составное. Например, у 11 нет делителей, кроме 1 и 11, а у 12 есть делители 2, 3, 4 и 6 помимо них. Поэтому 11 простое, а 12 составное.

У простого числа не может быть делителя между 1 и самим числом: появление такого числа стало бы третьим делителем. У составного числа, наоборот, обязательно найдётся делитель d, для которого 1 < d < n, где n — само число. Например, 15 делится на 3, а значит, кроме 1 и 15 у него есть ещё один делитель. Именно наличие или отсутствие такого делителя служит главным признаком.

Число 1 имеет только один натуральный делитель — само себя. Для простоты требуется ровно два делителя, а для составности — дополнительный делитель помимо 1 и самого числа. Поэтому единица не подходит ни под одно из определений. Это отдельный случай, и его нужно проверять до попытки назвать число простым или составным.

Число 2 — единственное чётное простое число. Любое чётное число делится на 2, и если оно больше 2, то 2 — это делитель, отличный и от 1, и от самого числа. Значит, такое число составное. Само число 2 делится только на 1 и 2, поэтому оно простое.

При проверке числа n не обязательно перебирать все числа до n. Достаточно искать делители, не превышающие √n — квадратный корень из n. Если бы существовал делитель a больше √n, то второй множитель b в записи n = a · b был бы меньше √n; иначе произведение оказалось бы больше n. Поэтому всякая пара множителей содержит хотя бы один небольшой множитель, который и нужно проверить.

Простые и составные числа

Сначала посмотрите, больше ли число 1, затем сравните количество его делителей с таблицей. Если у числа нашёлся делитель между 1 и самим числом, оно составное; если других делителей нет, оно простое. Для единицы действует отдельная колонка.

Разбор задач

Определите, какие из чисел 7, 9 и 1 являются простыми, составными или не относятся ни к одному из этих видов.

1. Проверим 7: оно больше 1, а делится без остатка только на 1 и 7. Значит, у него ровно два натуральных делителя.
2. Проверим 9: кроме 1 и 9, оно делится на 3, потому что 9 : 3 = 3. Значит, у него есть собственный делитель.
3. У числа 1 только один натуральный делитель — 1. Сравним полученные результаты с определениями простого и составного числа.

Ответ: 7 — простое, 9 — составное, 1 не является ни простым, ни составным.

Докажите, что число 51 составное.

1. Для доказательства составности достаточно найти один делитель, отличный от 1 и 51.
2. Сложим цифры числа: 5 + 1 = 6. Поскольку 6 делится на 3, число 51 также делится на 3.
3. Проверим деление: 51 : 3 = 17. Число 3 больше 1 и меньше 51, следовательно, это собственный делитель.

Ответ: 51 — составное число, так как 51 = 3 · 17.

Определите, является ли число 101 простым.

1. Число 101 больше 1. Вычислим границу проверки: 10² = 100, а 11² = 121, значит, √101 находится между 10 и 11.
2. Проверим простые числа, не превосходящие эту границу: 2, 3, 5 и 7. На 2 число не делится, потому что оно нечётное; на 3 — потому что сумма цифр 1 + 0 + 1 = 2 не делится на 3.
3. На 5 число 101 не делится, так как его последняя цифра не 0 и не 5. Деление на 7 тоже не даёт целого результата: 7 · 14 = 98, а 7 · 15 = 105.
4. Других простых делителей до √101 нет. Если бы у 101 был составной делитель, у него самого нашёлся бы простой делитель не больше √101.

Ответ: 101 — простое число.

Типичные ошибки

• Называть 1 простым. Так ошибаются, если помнят только, что простые числа делятся на себя. Но у простого должно быть два делителя, а у 1 — один. Для проверки перечислите натуральные делители числа.
• Считать любое нечётное число простым. Нечётность означает только, что число не делится на 2; другие делители всё ещё возможны. Например, 9 нечётное, но делится на 3. Проверьте делимость и на другие числа.
• Объявлять число составным, не найдя делителя. Если проверен лишь один возможный делитель, остальные могли остаться незамеченными. Составность доказывают конкретным делителем, а простоту — полной проверкой до квадратного корня. Спросите себя, можете ли вы указать такой делитель.
• Останавливаться перед границей квадратного корня. Если корень целый, делитель, равный ему, тоже нужно проверить: например, при проверке 49 нельзя пропустить 7. Проверьте, включена ли граница в перебор; ищут делители, не превосходящие √n.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в простых и составных числах, нужно уметь делить натуральные числа без остатка и находить их делители. Эти навыки позволяют сразу распознавать делимость и проверять ответы. Позже простые числа понадобятся для разложения натуральных чисел на простые множители. Такое разложение помогает, например, сокращать дроби: общие множители числителя и знаменателя можно разделить.

Что запомнить

• Простое число больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя.
• Составное число больше 1 и имеет делитель, отличный от 1 и самого числа.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Число 2 — единственное чётное простое число.
• Если число больше 1 и не имеет делителей, кроме 1 и самого себя, оно простое.
• Чтобы проверить простоту числа, достаточно искать делители не больше его квадратного корня.