23. Функции у = х2 и у = х3 и их графики

Определения и обозначения

Функция y = x² — соответствие, при котором каждому числу x ставится в соответствие его квадрат. Например, при x = 3 получаем y = 9, а при x = −3 тоже y = 9. Такое правило позволяет по любому выбранному x найти значение функции и поставить ему в соответствие точку на координатной плоскости.

Функция y = x³ — соответствие, при котором каждому числу x ставится в соответствие его куб. Куб числа — произведение трёх одинаковых множителей: x³ = x · x · x. Это правило важно учитывать при отрицательных x: например, (−2)³ = −8, поэтому значение функции сохраняет знак аргумента.

График функции — множество точек координатной плоскости, у каждой из которых абсцисса равна x, а ордината — значению функции при этом x. Абсциссой называют координату по горизонтали, ординатой — по вертикали. График помогает представить изменение значений и сравнивать функции, не ограничиваясь отдельными вычислениями.

Парабола — график функции y = x². Её вершина находится в точке (0; 0), а ось симметрии — ось y. Эти особенности помогают правильно строить кривую: точки с противоположными абсциссами лежат на одинаковой высоте, а ниже оси x парабола не опускается.

Как это устроено

Чтобы построить графики y = x² и y = x³, сначала выбирают несколько значений x и записывают их в таблицу. Для каждого выбранного числа отдельно вычисляют квадрат или куб, затем отмечают на координатной плоскости точки с координатами (x; y). Несколько точек показывают форму графика, а дополнительные значения помогают провести кривую точнее, если промежутки между точками велики.

У графика y = x² есть симметрия относительно оси y, потому что противоположные числа имеют одинаковые квадраты: (−x)² = x². Значит, достаточно найти точки для положительных x, а затем отразить их на другую сторону оси. Наименьшее значение равно нулю: квадрат не может быть отрицательным, и ноль получается при x = 0.

У функции y = x³ при замене x на −x значение меняет знак: (−x)³ = −x³. Поэтому точки графика располагаются попарно симметрично относительно начала координат: если (x; y) лежит на графике, то и (−x; −y) лежит на нём. Функция возрастает на всей числовой прямой: чем больше становится x, тем больше становится и x³.

Сравнивать значения функций удобно отдельно для отрицательных, нулевого и положительных x. При отрицательном x квадрат положителен, а куб отрицателен; при x = 0 оба значения равны нулю; при положительном x оба значения положительны. На графике это видно по расположению точек: значение y выше соответствует большему значению функции при том же x.

Квадрат и куб увеличиваются по модулю, когда увеличивается модуль x, но форма роста у функций различается. Например, при x = 2 получаются 2² = 4 и 2³ = 8, а при x = 3 — 9 и 27. Поэтому кубическая кривая на больших по модулю x уходит вверх или вниз быстрее, чем парабола; около нуля разница значений может быть небольшой.

Свойства функций y = x² и y = x³

Таблица помогает быстро сопоставить основные свойства двух функций и выбрать подходящий способ построения или проверки ответа. Например, отрицательное значение y сразу исключает график y = x², а для y = x³ оно возможно. При чтении свойств учитывай, что нулевая точка лежит на обеих осях, а не внутри координатной четверти.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = x² для x = −2, −1, 0, 1, 2.

Нужно получить значения функции для всех указанных аргументов, а затем нанести соответствующие точки. Удобно вычислять квадраты по одному и проверить, что у противоположных x получились одинаковые y. Это поможет заметить ошибку в вычислениях и использовать симметрию при построении.

1. Возводим выбранные числа в квадрат: (−2)² = 4, (−1)² = 1, 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4.
2. Записываем пары координат: (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4). Наносим их на координатную плоскость.
3. Проводим через точки плавную кривую, учитывая, что точки для противоположных x расположены на одной высоте. Получаем параболу с вершиной в начале координат.

Ответ: точки графика — (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4); график — парабола.

Задача 2. Построить график y = x³ для x = −2, −1, 0, 1, 2 и проверить принадлежность точек.

При вычислении куба особенно важно сохранить знак отрицательного числа. После составления таблицы каждую точку можно проверить подстановкой её абсциссы в формулу. Например, точка (−2; −8) подходит, а точка (−2; 8) — нет, хотя у неё верная абсцисса.

1. Вычисляем кубы: (−2)³ = −8, (−1)³ = −1, 0³ = 0, 1³ = 1, 2³ = 8.
2. Записываем и отмечаем точки: (−2; −8), (−1; −1), (0; 0), (1; 1), (2; 8). Через них проводим плавную возрастающую кривую.
3. Для проверки точки (−2; −8) подставляем x = −2: получаем y = −8, значит, точка принадлежит графику. Для (−2; 8) вычисленное значение не совпадает с ординатой, поэтому эта точка графику не принадлежит.

Ответ: на графике лежат все пять точек из таблицы; точка (−2; 8) графику не принадлежит.

Задача 3. Сравнить x² и x³ при x = −2, −1, 0, 1, 2.

Для сравнения сначала найдём оба значения при каждом аргументе. Сравнивать нужно числа в одной строке, то есть полученные при одинаковом x. Затем результат можно проверить по графикам: при одном и том же x выше расположен график функции с большим значением.

1. При x = −2 получаем 4 и −8, поэтому x² > x³; при x = −1 получаем 1 и −1, и снова x² > x³.
2. При x = 0 значения равны нулю. При x = 1 значения равны 1, а при x = 2 получаем 4 и 8, поэтому здесь x² < x³.
3. Сверяемся с графиками: для отрицательных x график параболы выше графика кубической функции, в нуле они пересекаются, а для x = 2 график y = x³ выше.

Ответ: среди заданных значений x² > x³ при x = −2 и x = −1.

Типичные ошибки

Ошибка: записать (−a)² как отрицательное число. Так происходит, если знак минус мысленно переносят за скобки и забывают, что квадрат означает умножение двух одинаковых множителей: (−a) · (−a) = a². Проверь себя, раскрыв степень как произведение; при числовом примере квадрат −3 равен 9.

Ошибка: получить положительное значение при возведении отрицательного числа в куб. Причина — привычка считать, что любое возведение в степень убирает минус. Но в произведении трёх отрицательных множителей знак остаётся отрицательным; проверь ответ умножением, например (−2) · (−2) · (−2) = −8.

Ошибка: считать, что график y = x² симметричен относительно начала координат. Здесь путают отражение относительно оси y с поворотной симметрией относительно начала координат. При x и −x значения y одинаковы, а не противоположны; можно проверить это по точкам (1; 1) и (−1; 1).

Ошибка: соединить отмеченные точки отрезками или провести график через них неточно. Точки таблицы показывают лишь отдельные значения функции, а не все возможные точки, поэтому ломаная не передаёт форму графика. Проверяй, что линия плавная, проходит через отмеченные точки и сохраняет симметрию или направление изменения функции.

Связь с другими темами

Для работы с этими функциями нужно уметь возводить положительные и отрицательные числа в квадрат и куб, а также отмечать точки на координатной плоскости. Если ошибиться со знаком степени или перепутать абсциссу с ординатой, таблица и построенный график окажутся неверными. Эти навыки связывают вычисления с наглядным представлением чисел.

Графики степенных функций помогают решать уравнения и неравенства графическим способом: значение или пересечение графиков позволяет увидеть ответ. Изученные свойства также станут основой для знакомства с другими функциями. Умение читать график пригодится и в задачах, где важно понять, как одна величина меняется вместе с другой.

Что запомнить

• Область определения обеих функций — все действительные числа.
• Значения функции y = x² неотрицательны; её график — парабола.
• Функция y = x² чётная, а её график симметричен относительно оси y.
• Функция y = x³ принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Функция y = x³ нечётная, а её график симметричен относительно начала координат.
• Функция y = x³ возрастает на всей числовой прямой.