"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Одночлены с одинаковой буквенной частью можно объединить: сложить или вычесть их коэффициенты, а буквы и их степени оставить без изменений. Такое действие называют приведением подобных одночленов. Оно помогает упрощать длинные выражения, в том числе многочлены, и делает дальнейшие вычисления удобнее. Если буквенные части не совпадают, одночлены объединять нельзя — выражение сохраняют в виде суммы или разности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные одночлены — одночлены с одинаковой буквенной частью: совпадают буквы и показатели их степеней. Например, 3a²b и −5a²b подобны, потому что в обоих стоят a²b. Это определение помогает быстро решить, какие слагаемые можно объединить.
Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В записи 5a²b коэффициент равен 5, а в записи −2a²b — −2. При сложении и вычитании подобных одночленов действия выполняют именно с коэффициентами, поэтому важно учитывать и их знаки.
Буквенная часть одночлена — произведение буквенных множителей с их степенями. Например, в одночлене 5a²b буквенная часть — a²b, а число 5 является коэффициентом. Сравнение буквенных частей позволяет определить, подобны ли одночлены.
Приведение подобных одночленов — замена суммы или разности подобных одночленов одним одночленом. Например, 3a + 5a можно заменить на 8a. Это действие используют, чтобы упростить выражение и привести вместе его одинаковые части.
Чтобы понять, можно ли выполнить сложение или вычитание, сначала сравнивают буквенные части одночленов. Проверяют каждую букву и её показатель степени: совпасть должны все множители, а не только одна из букв. Например, 4xy и 7xy подобны, а 4xy и 7x²y — нет. Только в первом случае выражение можно свернуть в один одночлен.
Причина правила видна, если вынести одинаковую буквенную часть за скобки. В выражении 3a + 5a буква a повторяется в обоих слагаемых, поэтому получаем (3 + 5)a. Буква здесь играет роль общего множителя, а число показывает, сколько таких множителей берётся. Значит, складывать нужно числа, а не сами одинаковые буквенные части.
При сложении подобных одночленов складывают их коэффициенты и умножают полученную сумму на общую буквенную часть. Например, 4x + 7x = (4 + 7)x = 11x. Такой способ сохраняет исходные множители x и меняет только их количество. Если коэффициент записан без числа, как у x, его считают равным 1.
При вычитании из коэффициента уменьшаемого вычитают коэффициент вычитаемого, а буквенную часть оставляют прежней. Например, 9a²b − 12a²b = (9 − 12)a²b = −3a²b. Порядок здесь важен: выражение задаёт, какое число вычитают из какого. Поэтому нельзя менять коэффициенты местами, не меняя знак результата.
Если буквенные части различаются, общего одинакового множителя, который можно вынести, нет. Поэтому такие одночлены нельзя заменить одним одночленом: x + x² так и остаётся суммой. Это не означает, что выражение записано неправильно или его нельзя использовать дальше. Просто объединять слагаемые на этом шаге нельзя.
В таблице сначала найди случай, который соответствует твоему выражению, а затем сравни буквенные части. Если они одинаковы, выполни действие только с коэффициентами и сохрани общую буквенную часть. Если буквенные части разные, оставь одночлены в сумме или разности.
| Случай | Что сравнить | Действие | Пример |
|---|---|---|---|
| Сложение подобных одночленов | Буквы и показатели степеней | Сложить коэффициенты, буквенную часть сохранить | 4x + 7x = 11x |
| Вычитание подобных одночленов | Буквы и показатели степеней | Из первого коэффициента вычесть второй, буквенную часть сохранить | 9a²b − 12a²b = −3a²b |
| Сложение или вычитание неподобных одночленов | Совпадают ли буквенные части | Не объединять одночлены | x + x² |
Сначала проверим, можно ли объединить слагаемые. У обоих одночленов буквенная часть x, значит, они подобные. Складывать нужно коэффициенты, потому что x является одинаковым множителем в каждом слагаемом.
Ответ: 11x. Проверка рассуждения: в результате буквенная часть сохранилась, а коэффициент равен сумме исходных коэффициентов.
Оба одночлена содержат одинаковую буквенную часть a²b, поэтому вычитание можно выполнить. Порядок коэффициентов берём из исходного выражения: сначала стоит 9, затем вычитается 12. Результат будет отрицательным, так как 12 больше 9.
Ответ: −3a²b. Знак минус нельзя убирать: он показывает результат действия 9 − 12.
Здесь встречаются два вида буквенных частей: xy и x²y. Поэтому сначала соберём вместе слагаемые каждого вида, сохраняя знак перед каждым коэффициентом. Затем выполним действия отдельно внутри каждой группы: коэффициенты у xy нельзя складывать с коэффициентами у x²y.
Ответ: 11xy − 7x²y. Проверка: в каждой группе буквенная часть не менялась, а действие выполнено только с коэффициентами.
Объединяют одночлены с разными буквенными частями. Например, считают, что x и x² можно сложить, потому что в обоих есть буква x. Показатели степени при этом различаются, значит, слагаемые неподобны. Для проверки сравни буквенные части целиком, включая все показатели.
Складывают показатели степеней при сложении. Ошибка вроде x + x = x² возникает из-за смешения сложения с умножением: показатели складывают при умножении одинаковых степеней, а не при сложении одночленов. Здесь x + x = 2x. Проверь себя: число слагаемых отражается в коэффициенте, а буквенная часть остаётся прежней.
Меняют порядок коэффициентов при вычитании или теряют знак. В выражении 5a − 8a нужно вычислить 5 − 8, а не 8 − 5. Такая ошибка часто появляется, если ученик смотрит только на числа, забывая порядок действия. Перед вычислением перепиши коэффициенты с исходными знаками и проверь, что вычитаешь второй из первого.
Считают, что коэффициент результата обязательно положительный. При вычитании меньшего коэффициента из большего по модулю получается отрицательное число, например 4x − 7x = −3x. Иногда знак теряют, потому что ожидают положительный ответ. Проверь вычисление коэффициентов отдельно: результат может быть отрицательным или равным нулю.
Перед изучением темы нужно знать, что такое одночлен и как записать его в стандартном виде. Также пригодятся умения находить коэффициент и буквенную часть, а ещё выполнять действия с целыми числами, включая отрицательные. Приведение подобных одночленов используется при упрощении многочленов: одночлены в них объединяют по одинаковой буквенной части. Упрощённые выражения удобнее подставлять в уравнения и использовать при их решении.
Как понять, что одночлены подобные?
Сравни буквенные части: должны совпадать все буквы и показатели их степеней. Например, 3a²b и −5a²b подобные, а 3ab и 3a²b — нет.
Можно ли сложить x и x²?
Нет, это неподобные одночлены: у x и x² разные показатели степени. Их можно записать рядом как сумму x + x², но объединить в один одночлен нельзя.
Почему при сложении одночленов буквенная часть не меняется?
У подобных одночленов буквенная часть одинаковая, поэтому она выступает общим множителем. Например, 3a + 5a = (3 + 5)a = 8a.
Что делать, если при вычитании получился отрицательный коэффициент?
Оставить его со знаком минус перед буквенной частью. Например, 4x − 7x = −3x: отрицательный коэффициент показывает, что вычитаемый одночлен был больше уменьшаемого.
Можно ли сначала сгруппировать подобные одночлены в длинном выражении?
Да, так часто удобнее: собери отдельно одночлены с одинаковой буквенной частью. Затем сложи или вычти коэффициенты в каждой группе, не меняя буквенную часть.
§ 25. Сложение и вычитание одночленов.
