§ 24. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

Определения и обозначения

Одночлен — произведение чисел, переменных и их неотрицательных целых степеней. Например, 4a²b — одночлен, потому что его множители перемножаются, а сложения слагаемых нет. Число 8 тоже подходит: это произведение из одного множителя. Отдельная переменная x — также одночлен, ведь её можно считать произведением одного буквенного множителя.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. Например, в 5a² число 5 является коэффициентом, а в записи a² коэффициент равен 1, хотя единицу обычно не пишут. Если перед буквенной частью стоит минус, коэффициент равен −1: выражение −x можно представить как (−1) · x. Коэффициент показывает, во сколько раз числовой множитель изменяет буквенную часть.

Буквенная часть одночлена — произведение переменных, входящих в него. В одночлене 3a²b буквенная часть — a²b, а в −xy буквенная часть — xy. Она нужна, чтобы отдельно видеть буквы и числовой множитель. Если букв нет, одночлен является числом, например 7 или −4.

Стандартный вид одночлена — запись в виде произведения числового коэффициента и степеней различных переменных. Например, вместо записи 2 · a · a · 3 · b пишут 6a²b. Такая форма позволяет быстро определить коэффициент и буквенную часть. Каждая переменная в ней записывается одной степенью.

Как это устроено

Одночлен получают умножением числовых и буквенных множителей, поэтому в его записи не должно быть сложения или вычитания отдельных слагаемых. Например, 3xy — произведение трёх множителей: 3, x и y. А выражение 3x + y состоит из двух слагаемых, соединённых знаком сложения, поэтому оно не является одним произведением. Проверка простая: если внутри выражения нужно складывать или вычитать части, это не одночлен.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, сначала перемножают все числовые множители, а затем собирают одинаковые буквенные множители в степени. Причина в том, что повторное умножение одной и той же переменной можно заменить степенью: a · a · a = a³. Такая запись короче и помогает не терять повторяющиеся множители. Например, в 2 · a · a · 3 числовые множители дают 6, а буквы превращаются в a².

Множители можно переставлять местами, поскольку от порядка умножения результат не меняется. Поэтому удобно сначала поставить все числа, а затем записать буквенную часть в привычном порядке, например сначала x, потом y. Тогда запись 4 · y · x · 2 превращается в 8xy. Порядок букв можно выбрать удобный, но коэффициент принято ставить перед буквами, чтобы его было легко заметить.

Если одна и та же переменная встречается несколько раз, её множители объединяют: a · a · a заменяют на a³. Показатель степени показывает, сколько раз переменная умножается сама на себя. Разные переменные объединять нельзя: множители x и y не превращаются в одну степень, поэтому x · x · y записывают как x²y. Иначе буквенная часть выражала бы уже другое произведение.

Если коэффициент равен нулю, всё произведение равно нулю независимо от того, какие буквы стоят рядом: 0 · x²y = 0. Это следует из свойства умножения: произведение любого числа на ноль равно нулю. Поэтому ноль рассматривают как одночлен, хотя его буквенная часть не влияет на результат. В стандартной записи достаточно указать 0.

Одночлены и их запись в стандартном виде

В таблице приведены исходные записи и результат упрощения. В строке «Число без букв» в качестве примера взято число 8, а в строке «Нулевой одночлен» — выражение 0 · x². Коэффициент и буквенная часть в каждой строке указаны отдельно, чтобы было легче увидеть, как устроен стандартный вид.

Сначала найдите числовые множители и перемножьте их, учитывая знаки. Затем посчитайте повторения каждой буквы и оформите их степенями. Если коэффициент равен 1, его не записывают, а при коэффициенте −1 оставляют минус.

Разбор задач

Задача 1

Укажите, какие из выражений 7a², 3x + 1, −4 и ab являются одночленами. Для каждого выражения проверим, можно ли считать его одним произведением. При этом отдельное число и произведение переменных тоже могут быть одночленами. Не будем путать количество символов с количеством слагаемых.

1. Рассмотрим 7a²: число 7 умножается на степень a², значит, это одно произведение и одночлен.
2. В выражении 3x + 1 части 3x и 1 соединены знаком сложения. Это сумма, а не одно произведение, поэтому она не является одночленом.
3. Выражение −4 — отдельное число, его можно считать одночленом из одного числового множителя.
4. В выражении ab перемножаются переменные a и b, поэтому это одночлен.

Ответ: одночлены — 7a², −4 и ab; выражение 3x + 1 не является одночленом.

Задача 2

Запишите одночлен 2 · a · a · b · 3 в стандартном виде и укажите его коэффициент. Не меняя значения, соберём отдельно числа и повторяющиеся буквы. Это позволяет получить короткую запись и не потерять ни один множитель. Буква b встречается один раз, поэтому остаётся без показателя.

1. Переставим множители: 2 · 3 · a · a · b.
2. Перемножим числа: 2 · 3 = 6.
3. Объединим одинаковые буквы: a · a = a², а b запишем отдельно.
4. Поставим коэффициент перед буквенной частью: 6a²b.

Ответ: стандартный вид — 6a²b, коэффициент — 6.

Задача 3

Приведите к стандартному виду −x · 4 · y · x · y · y и назовите коэффициент и буквенную часть. Здесь есть отрицательный знак и числовой множитель 4, а значит, числовой коэффициент будет отрицательным. Сначала разложим произведение на числовую и буквенную части. Затем отдельно посчитаем повторения x и y.

1. Переставим множители: −4 · x · x · y · y · y.
2. Числовая часть уже перемножена: −1 · 4 = −4.
3. Два множителя x дают x², а три множителя y дают y³.
4. Запишем коэффициент перед буквенной частью: −4x²y³.

Ответ: стандартный вид — −4x²y³, коэффициент — −4, буквенная часть — x²y³.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать одночленом сумму x + 2. Её принимают за одночлен, потому что оба слагаемых простые. Но одночлен должен быть одним произведением, а здесь части соединены сложением. Проверьте выражение: если между слагаемыми стоит плюс или минус, это не одночлен.

Ошибка: складывать показатели степеней у разных переменных. Например, x²y нельзя превратить в одну степень, сложив показатели при x и y. Такое объединение допустимо только для одинаковых буквенных множителей, потому что степень показывает повторное умножение одной переменной. Проверьте, совпадают ли буквы: x и y — разные переменные.

Ошибка: забыть перемножить числа или учесть знак. В результате коэффициент должен учитывать все числовые множители исходной записи, включая знак минус. Так, −x · 4 даёт коэффициент −4, а не 4. Для проверки отдельно выпишите числовую часть и выполните вычисление до записи букв.

Ошибка: обязательно записывать коэффициент 1 или терять знак при коэффициенте −1. Единицу обычно опускают, поэтому 1x записывают как x. Но минус перед буквенной частью сохраняют: −1 · x = −x. Проверьте, меняется ли значение выражения после сокращённой записи: знак должен остаться на месте.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужно уметь перемножать числа и буквенные выражения, а также понимать, что означает степень с натуральным показателем. Например, x³ — это произведение x · x · x, поэтому его можно получить, объединяя одинаковые множители. Если эти действия знакомы, привести одночлен к стандартному виду проще: достаточно отдельно обработать числа и буквы.

Стандартная запись пригодится дальше, когда нужно умножать одночлены и многочлены или упрощать алгебраические выражения. В ней удобно видеть числовые коэффициенты и одинаковые переменные, которые появляются при умножении. Поэтому навык приведения одночлена к стандартному виду помогает аккуратно выполнять следующие преобразования.

Что запомнить

• Одночлен — одно произведение чисел и буквенных множителей.
• Число и отдельная переменная тоже являются одночленами.
• В стандартном виде числовой коэффициент записывают перед буквенной частью.
• Одинаковые переменные объединяют в степени.
• Коэффициент 1 обычно не записывают.
• Одночлен с коэффициентом 0 равен нулю.