§ 23. Работа с таблицами распределения  

Определения и обозначения

Таблица распределения — таблица, в которой возможные значения признака сопоставлены с числом наблюдений, имеющих эти значения. Признаком может быть, например, число часов чтения или результат измерения. Таблица собирает разрозненные записи в удобный вид. По ней проще сравнить, каких результатов было больше.

Частота значения — количество раз, которое это значение встречается в исходных данных. Если число 3 записано четыре раза, его частота равна 4. Частота нужна, чтобы видеть распространённость каждого результата. Каждое наблюдение учитывают при подсчёте только один раз.

Относительная частота — доля наблюдений с данным значением, то есть частота, делённая на общее число наблюдений. Если из 20 измерений значение встретилось 5 раз, его относительная частота равна 5/20 = 1/4. Эту долю можно записать как десятичное число или процент. Она помогает сравнивать результаты наборов разного размера.

Объём данных — общее количество наблюдений; он равен сумме частот всех значений. Если в таблице частоты 2, 3 и 4, объём данных равен 2 + 3 + 4 = 9. Объём нужен для вычисления относительных частот. Он также служит проверкой подсчёта: все наблюдения должны попасть в таблицу.

Как это устроено

Исходный набор часто выглядит как длинный ряд чисел, где одинаковые значения перемешаны. По такому ряду нелегко сразу понять, какой результат встречается чаще и насколько отличаются группы. Таблица собирает одинаковые значения вместе, но не теряет сведения о числе их появлений. Поэтому по ней удобнее сравнивать результаты наблюдений и искать нужную закономерность.

Чтобы составить таблицу, сначала выпиши различные значения признака, встретившиеся в исходных данных. Затем посчитай, сколько раз появилось каждое значение, и запиши это число рядом с ним. При подсчёте можно отмечать найденные появления, чтобы не пропускать и не считать их повторно. В конце сложи частоты: если сумма совпала с количеством всех записей, значит каждое наблюдение учтено.

Относительную частоту находят отдельно для каждого значения: его частоту делят на объём данных. Например, частота 3 при объёме 12 даёт долю 3/12 = 1/4. Чтобы представить её десятичной дробью, раздели числитель на знаменатель; чтобы получить проценты, умножь долю на 100%. Выбор записи зависит от задачи, но смысл остаётся тем же — это часть всех наблюдений.

Сумма относительных частот равна 1, или 100%, потому что вместе значения охватывают все наблюдения. При сложении дробей f/N знаменатель общий, а сумма числителей равна объёму данных N, поэтому получается N/N = 1. В процентах это означает, что учтено 100% данных. Равенство помогает обнаружить ошибку: если сумма отличается, стоит проверить деление или исходные частоты.

По готовой таблице можно находить ответы, не пересчитывая весь ряд наблюдений. Самое частое значение — то, у которого частота наибольшая; если наибольшая частота одинаковая у нескольких значений, лидеров несколько. Если вопрос касается группы значений, сначала сложи их частоты. Так, чтобы узнать число результатов не меньше заданного числа, выбери подходящие строки и сложи числа в них.

Состав и проверка таблицы распределения

Сначала используй таблицу для подсчёта значений и частот, а затем проверь общий итог. Если требуется доля, добавь столбец относительных частот и раздели каждую частоту на объём данных. Эти проверки позволяют заметить пропущенные наблюдения и ошибки в вычислениях.

Разбор задач

Задача 1. В наборе результатов измерений указаны значения 2, 3, 2, 1, 3, 2. Составь таблицу распределения. Нужно не переписывать каждое повторение в отдельную строку, а сгруппировать одинаковые результаты. В качестве проверки посчитаем сумму полученных частот.

1. Выпишем различные значения в порядке возрастания: 1, 2, 3.
2. Подсчитаем появления: число 1 встретилось один раз, число 2 — три раза, число 3 — два раза.
3. Запишем частоты рядом со значениями и проверим их сумму: 1 + 3 + 2 = 6. Это совпадает с количеством чисел в исходном наборе.

Ответ. Значения 1, 2 и 3 имеют соответственно частоты 1, 3 и 2. Объём данных равен 6. Таблицу можно записать так: (1; 1), (2; 3), (3; 2), где в каждой паре сначала указано значение, затем частота.

Задача 2. По таблице с частотами 4, 7 и 9 найди объём данных и относительную частоту значения с частотой 7. Объём нужен как знаменатель для доли. Поэтому сначала сложим все частоты, а уже потом разделим на найденное число нужную частоту.

1. Найдём объём данных: 4 + 7 + 9 = 20.
2. Выберем частоту, о которой спрашивают: она равна 7.
3. Разделим её на объём: 7/20 = 0,35. При записи в процентах это 35%.

Ответ. Объём данных равен 20, относительная частота значения с частотой 7 равна 7/20, или 0,35 (35%). Проверка: все три частоты дали общий объём 20. Искомая доля меньше единицы, потому что соответствующая группа составляет только часть данных.

Задача 3. В таблице опроса о времени чтения указаны 0, 1, 2 и 3 часа в день и частота для каждого значения. Найди долю опрошенных, читающих не менее 2 часов, и вырази её в процентах. Условие «не менее 2» включает оба подходящих значения: 2 и 3 часа. Поэтому сначала объединим их частоты, а затем сравним эту группу со всеми опрошенными.

1. Обозначим частоты для 0, 1, 2 и 3 часов соответственно f₀, f₁, f₂ и f₃.
2. Найдём число подходящих ответов: f₂ + f₃. Объём опроса равен сумме всех частот: N = f₀ + f₁ + f₂ + f₃.
3. Вычислим долю (f₂ + f₃)/N и умножим её на 100%, чтобы получить процент.

Ответ. Доля читающих не менее 2 часов равна (f₂ + f₃)/N, а в процентах — (f₂ + f₃)/N · 100%. Чтобы получить числовой ответ, подставь в выражение частоты из таблицы. Без самих значений частот процент определить нельзя.

Типичные ошибки

При подсчёте частоты можно пропустить повторение или отметить одно и то же появление дважды. Обычно так происходит, когда считают по памяти и не сверяются с исходным набором. Отмечай каждое учтённое число или считай по порядку. В конце проверь, что сумма частот равна количеству всех исходных наблюдений.

Иногда относительную частоту находят, деля объём данных на частоту значения. Это меняет местами часть и целое: доля должна показывать, какую часть всех наблюдений составляет группа. Делить нужно частоту на объём, то есть f/N. Проверь себя: результат не должен быть больше 1.

Ещё одна ошибка — не включить значение с небольшой или нулевой частотой. Из-за этого таблица может не показывать все значения признака, о которых говорится в условии, и ответы на вопросы окажутся неполными. Сверь строки таблицы со списком возможных или наблюдаемых значений. Для ненаблюдавшегося значения частота равна нулю, если его требуется учитывать в таблице.

Не путай две проверки: сумма частот и сумма относительных частот отвечают на разные вопросы. Первая должна равняться объёму данных, вторая — 1, или 100%. Ошибка возникает, когда складывают доли вместо частот либо ожидают, что сумма частот равна 1. Подписывай, что именно складываешь, и сравнивай результат с правильным ориентиром.

Связь с другими темами

Для работы с таблицей нужно уметь считать и упорядочивать натуральные числа: эти навыки помогают перечислить значения и без пропусков подсчитать появления. Чтобы получить относительные частоты, пригодятся деление и сложение дробей. Перевод долей в проценты позволяет представить результаты в привычном виде и сравнивать их. Позже таблицы распределения будут полезны в статистике, при анализе экспериментов и при построении диаграмм.

Что запомнить

• Каждому различному значению признака соответствует своя частота.
• Сумма всех частот равна объёму данных.
• Относительная частота равна частоте, делённой на объём данных.
• Сумма относительных частот равна 1, или 100%.
• По таблице распределения можно отвечать на вопросы о частоте отдельных значений и их групп.