"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Степень с нулевым показателем — это запись, в которой показатель равен нулю, например a⁰. Для любого ненулевого основания её значение равно единице: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Это правило помогает короче записывать вычисления и преобразовывать выражения со степенями. Главное — перед заменой степени на 1 проверить основание: если оно равно нулю, правило неприменимо, а выражение 0⁰ в рамках этой темы не определено.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенью с нулевым показателем называют выражение вида a⁰, где a — ненулевое число. Для любого такого числа действует правило a⁰ = 1. Например, 7⁰ = 1, а не 0. Это правило позволяет быстро находить значение степени, когда показатель равен нулю.
Основание степени — число или выражение, которое возводят в степень. В записи a⁰ основанием является a, а нулём обозначен показатель. Основание обязательно должно быть ненулевым, потому что правило a⁰ = 1 имеет именно такое условие. Если основание записано в скобках, основанием считается всё выражение внутри них.
Нулевой степенью числа называют результат возведения ненулевого числа в степень с показателем 0. По правилу этот результат всегда равен единице, каким бы ни было ненулевое основание. Например, для числа 5 нулевая степень — это 5⁰ = 1. Понятие помогает различать показатель степени и её значение: нулевой показатель вовсе не делает значение нулём.
Выражение 0⁰ в рамках изучаемого правила не определено. Нельзя считать, что оно равно 1, потому что правило требует ненулевого основания. Это уточнение нужно, чтобы правильно работать с выражениями, где основание может обратиться в ноль.
Посмотрим на последовательность степеней одного ненулевого числа: a³, a², a¹. При уменьшении показателя на единицу очередную степень получают делением предыдущей на основание: a³ : a = a², затем a² : a = a. Продолжая этот шаг, от a¹ нужно разделить на a ещё раз. Получится 1, поэтому следующей степенью становится a⁰.
То же правило можно обосновать свойством частного степеней. Если m — натуральное число, а a ≠ 0, то aᵐ/aᵐ = 1, ведь любое ненулевое число, делённое на себя, равно единице. По свойству частного степеней это частное равно aᵐ⁻ᵐ, то есть a⁰. Значит, a⁰ = 1. Такое обоснование объясняет, откуда берётся правило, а не просто предлагает его запомнить.
Условие a ≠ 0 необходимо в обоих рассуждениях. Чтобы перейти от одной степени к следующей, мы делим на основание, а делить на ноль нельзя. Также выражение aᵐ/aᵐ при a = 0 не является допустимым частным: в знаменателе окажется ноль. Поэтому обоснование нельзя применять к нулевому основанию, и значение 0⁰ этим правилом не задаётся.
Основание может быть отрицательным или дробным: важно только, чтобы оно не было равно нулю. Например, (−3)⁰ = 1, потому что основание −3 ненулевое, и (2/5)⁰ = 1, потому что дробь 2/5 тоже не равна нулю. Знак минус и вид дроби не меняют правило. Скобки помогают увидеть, какое именно число целиком возводится в степень.
Если основание — выражение в скобках, сначала проверяют всё выражение, а затем применяют правило. Например, в записи (3x − 6)⁰ основанием является 3x − 6, и оно равно нулю при x = 2. При x ≠ 2 основание ненулевое, поэтому степень равна 1. Такая проверка особенно нужна, когда основание зависит от переменной: оно может быть ненулевым не при всех её значениях.
| Выражение | Условие | Значение | Пояснение |
|---|---|---|---|
| a⁰ | a ≠ 0 | 1 | Нулевой показатель у ненулевого основания. |
| (−a)⁰ | a ≠ 0 | 1 | Основание −a ненулевое. |
| (a/b)⁰ | a ≠ 0, b ≠ 0 | 1 | Дробь определена и не равна нулю. |
| 0⁰ | Основание равно 0 | Не определено | Правило для ненулевого основания неприменимо. |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала найди основание — всё, что возводится в степень, — и проверь условие в соответствующей строке. Если основание ненулевое, значение степени равно 1. Если основание равно нулю, не применяй правило a⁰ = 1.
Оба выражения имеют нулевой показатель, поэтому сначала проверим их основания. Числа 7 и −4 не равны нулю, значит, правило можно применить к каждому выражению. Отрицательный знак не мешает: основанием является ненулевое число −4.
Ответ: 7⁰ = 1; (−4)⁰ = 1. В обоих случаях значение одинаково, потому что нулевая степень любого ненулевого числа равна единице.
Здесь основание не отдельное число, а выражение 3x − 6. Нельзя сразу заменить степень на 1, пока не проверено, что это выражение ненулевое. Данное в условии ограничение x ≠ 2 как раз позволяет выполнить такую проверку.
Ответ: 1 при x ≠ 2. Если бы x было равно 2, основание стало бы нулём, и выражение приняло бы вид 0⁰.
В сумме две степени, и у каждой своё основание. Проверим оба отдельно, чтобы убедиться, что правило применимо к каждому слагаемому. Условия задачи позволяют это сделать без вычисления конкретных значений a и b.
Ответ: 2. При a = 5 первое основание стало бы нулём, поэтому появилось бы выражение 0⁰; в рамках этой темы оно не определено, и значение всей суммы найти нельзя.
Ошибка: считать, что a⁰ = 1 при любом a. Так забывают условие a ≠ 0 и переносят правило на случай нулевого основания. Проверь себя: перед заменой степени на единицу подставь значение основания и убедись, что оно не равно нулю. Если основание может быть нулём, укажи ограничение.
Ошибка: считать 0⁰ равным 1. Обычно это происходит потому, что правило для ненулевых чисел запоминают без условия. Но обоснование использует деление на основание, а делить на ноль нельзя. Самопроверка простая: если в основании стоит ноль, не применяй формулу a⁰ = 1.
Ошибка: увидеть скобки и принять всё выражение за основание, но не выяснить, может ли оно обратиться в ноль. Это особенно часто случается, когда основание зависит от переменной. Для проверки реши уравнение «основание равно нулю» и сравни ответ с условием задачи. Так можно определить, при каких значениях переменной степень допустима.
Ошибка: думать, что отрицательное или дробное основание не подходит для нулевого показателя. Путают ограничения на основание с его видом, хотя решающее условие только одно: основание не равно нулю. Например, (−3)⁰ и (2/5)⁰ равны 1. Проверяй ненулевое значение основания, а не наличие минуса или дробной черты.
Для работы с нулевым показателем нужны знания о записи степени: важно отличать основание от показателя. Также нужно уметь делить ненулевое число на себя и помнить, что результат такого деления равен 1. Эти знания помогают понять обоснование правила.
Правило пригодится при преобразовании выражений со степенями и сокращении дробей, содержащих одинаковые степени. Оно позволяет заменить ненулевую степень с нулевым показателем на 1 и упростить запись. При этом условия, при которых знаменатели и основания не равны нулю, нужно сохранять.
Тема опирается на свойства степеней и подготавливает к изучению степеней с целыми показателями. Когда показатель может быть не только натуральным, но и нулевым или отрицательным, особенно важно следить за допустимыми значениями основания. Условие ненулевого основания связывает эти правила с запретом деления на ноль.
Почему любое ненулевое число в нулевой степени равно единице?
При делении числа на себя получается 1. По свойству частного степеней это же частное можно записать как aᵐ⁻ᵐ = a⁰, если a ≠ 0, поэтому a⁰ = 1.
Можно ли возвести отрицательное число в нулевую степень?
Да, если отрицательное число не равно нулю. Например, (−3)⁰ = 1.
Чему равно 0⁰?
В рамках изучаемого правила выражение 0⁰ не определено. Правило a⁰ = 1 действует только при a ≠ 0.
Почему перед применением правила нужно проверить основание?
Равенство a⁰ = 1 верно только для ненулевого основания. Если основание может оказаться нулём, замена на 1 приведёт к неверному результату.
Как упростить выражение, если в нулевую степень возведено выражение со скобками?
Сначала выясни, при каких значениях переменных выражение в скобках не равно нулю. Если условие выполнено, всю степень можно заменить на 1; если основание равно нулю, получаем 0⁰, которое здесь не определено.
§ 22. Степень с нулевым показателем
