"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Когда у степеней разные основания, но одинаковые показатели, их можно объединить в одну степень. Для этого при умножении перемножают основания, а при делении делят одно основание на другое; показатель остаётся прежним. Эти правила помогают быстрее вычислять выражения и упрощать буквенные записи. Главное — не перепутать их с правилами для степеней с одинаковыми основаниями и помнить, что делить на ноль нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где a — основание, n — натуральный показатель. Например, 4³ = 4 · 4 · 4. Такая запись помогает короче обозначать многократное умножение одного и того же числа.
Степени с одинаковыми показателями — степени, у которых равны показатели, а основания могут быть разными. Например, 2⁵ и x⁵ имеют одинаковый показатель 5, хотя основания у них разные. Это условие нужно проверить, прежде чем применять правила из этой темы.
Умножение степеней с одинаковыми показателями — действие, при котором произведение aⁿ · bⁿ записывают как (ab)ⁿ. Например, 3² · 4² можно заменить на (3 · 4)². Такое преобразование позволяет сначала выполнить действие с основаниями, а затем возвести результат в степень.
Деление степеней с одинаковыми показателями — действие, при котором частное aⁿ : bⁿ записывают как (a : b)ⁿ при b ≠ 0. Здесь a и b — основания, а b ≠ 0 означает, что делитель не равен нулю. Условие нужно потому, что деление на ноль не определено.
Раскроем обе степени в произведении aⁿ · bⁿ: первая содержит n множителей a, вторая — n множителей b. Запишем множители попарно: каждому a соответствует один b, и произведение можно перегруппировать, не меняя его значения. В каждой паре получится ab, а таких пар будет ровно n. Значит, произведение равно (ab)ⁿ: общее число повторений остаётся прежним.
Проверим рассуждение на примере: 2³ · 5³ = (2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5). Перегруппируем множители в три пары: (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5). Получилось три одинаковых множителя 10, то есть 10³. Пример показывает, почему показатель сохраняется: он указывает число пар, а не меняется при перемножении оснований.
Для деления раскроем степени aⁿ : bⁿ, где b ≠ 0. Числитель и знаменатель состоят из n множителей, поэтому частное можно представить как произведение n отношений a : b. Каждое такое отношение одинаково, и n одинаковых множителей a : b образуют степень (a : b)ⁿ. Это рассуждение допустимо только при ненулевом b: иначе отношения и исходное деление не имеют смысла.
Итак, общий показатель сохраняется, а действие выполняют с основаниями: при умножении основания перемножают, при делении — делят. Например, вместо вычисления двух степеней по отдельности можно сначала упростить их основания, если это удобнее. Правила применимы лишь тогда, когда показатели равны; для деления дополнительно требуется ненулевое основание делителя. Если показатели различаются, эти формулы напрямую использовать нельзя.
| Действие | Формула | Условие | Пример |
|---|---|---|---|
| Умножение степеней | aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ | Показатели одинаковые | 2³ · 5³ = 10³ |
| Деление степеней | aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ | Показатели одинаковые, b ≠ 0 | 6³ : 2³ = 3³ |
Сначала сравни показатели в выражении, затем найди нужную строку таблицы. При умножении используй произведение оснований, а при делении — их частное, не меняя общий показатель. Для деления отдельно убедись, что основание делителя не равно нулю.
Задача 1. Вычислите 2³ · 5³. Показатели равны, значит, можно применить правило умножения степеней. Сначала объединим основания, а затем вычислим полученную степень.
Ответ: 1000. Мы не возводили 2 и 5 в куб по отдельности, потому что объединить основания оказалось проще. Показатель 3 сохранился на каждом шаге.
Задача 2. Упростите x⁴ · 3⁴. Обозначение x⁴ — степень с основанием x, поэтому правило можно применять и к буквенным выражениям. Показатели равны четырём; основание первого множителя — x, второго — 3. Перемножим основания, не вычисляя неизвестное значение x.
Ответ: (3x)⁴. Переставить множители в произведении x · 3 можно, потому что от этого значение не меняется. Выражение упрощено и остаётся степенью.
Задача 3. Упростите (6a)³ : 2³ при допустимых значениях a. Здесь кубы имеют одинаковый показатель 3, а основаниями являются 6a и 2. Прежде чем делить, проверим знаменатель: 2³ = 8, а значит, он не равен нулю при любом a. Теперь можно разделить основания и упростить результат.
Ответ: (3a)³. Значение a не ограничивает деление, потому что оно входит в делимое основание, а делитель равен 8. Важно проверять именно основание степени, которая стоит делителем.
Ошибка: складывать показатели при умножении степеней с одинаковыми показателями. Правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ относится к одинаковым основаниям, а не к случаю, когда равны показатели. Чтобы проверить себя, сравни основания и показатели: здесь нужно сохранить общий показатель и выполнить действие с основаниями.
Ошибка: перемножить основания, но потерять показатель, например заменить (ab)ⁿ на abⁿ. Так происходит, когда ученик объединяет только часть записи и забывает, что степень относится ко всему основанию. Проверь результат на простых числах: 2² · 3² = 36, а не 2 · 3² = 18.
Ошибка: делить показатели в выражении aⁿ : bⁿ. Показатель в этой формуле не делится: он остаётся n, а делят основания. Для самопроверки подставь числа, например 8² : 2² = 4², а не степень с показателем 2 : 2.
Ошибка: применять формулу деления, если основание делителя равно нулю. Нулевую степень-делитель нельзя использовать как знаменатель, поскольку деление на ноль невозможно. Перед преобразованием проверь, что b ≠ 0; если условие не выполняется, исходное выражение не определено.
Для этой темы нужно знать, что означает степень с натуральным показателем, и уметь умножать и делить числа. Раскрытие степеней сводит правило к уже знакомым действиям с множителями. При этом важно отличать одинаковые показатели от одинаковых оснований: для них действуют разные правила.
Новые формулы позволяют упрощать числовые и буквенные выражения, не вычисляя каждую степень отдельно. Позже этот навык пригодится при преобразовании одночленов и многочленов, где нужно аккуратно выполнять действия с коэффициентами и буквами. Умение замечать общую структуру выражения помогает выбирать короткий способ решения.
Что значит, что показатели степеней одинаковые?
Это значит, что степени имеют один и тот же показатель: например, 2³ и 5³ обе имеют показатель 3. Основания при этом могут быть разными.
Почему при умножении перемножают основания, а показатель не меняют?
Каждая степень состоит из одинакового числа множителей. При умножении пары соответствующих множителей можно объединить: a · b повторяется n раз, поэтому получается (ab)ⁿ. Число пар равно прежнему показателю n.
Как вывести формулу деления степеней с одинаковыми показателями?
Раскроем степени: aⁿ и bⁿ содержат по n одинаковых множителей. При делении их можно представить как n одинаковых отношений a : b, поэтому aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ. Основание b должно быть ненулевым.
Можно ли применять формулу деления, если основание делителя равно нулю?
Нет. Тогда степень в знаменателе равна нулю, а деление на ноль не определено. Поэтому для формулы aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ обязательно условие b ≠ 0.
Чем эти правила отличаются от правил умножения степеней с одинаковыми основаниями?
В этой теме одинаковы показатели, а основания могут различаться: показатели сохраняют, а основания умножают или делят. При одинаковых основаниях действует другое правило: показатели складывают при умножении и вычитают при делении.
§ 21. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями
