"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Степень с натуральным показателем коротко записывает произведение одинаковых множителей: например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись помогает быстрее выполнять вычисления и упрощать алгебраические выражения. Для степеней существуют правила умножения, деления и возведения в степень. Чтобы применять их верно, нужно следить за основанием, показателями и условиями: при делении основание не должно быть нулём.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — произведение нескольких одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множителей n. Например, 4³ = 4 · 4 · 4. Такая запись удобна, когда одно и то же число нужно умножить само на себя несколько раз.
Основание степени — число a, которое повторяется множителем. В записи 7⁴ основание равно 7, поэтому в произведении 7 · 7 · 7 · 7 каждый множитель — семёрка. Основание помогает понять, какое число повторяется и можно ли применять правила для одинаковых оснований.
Показатель степени — натуральное число n, показывающее, сколько раз основание входит в произведение. В записи 7⁴ показатель равен 4: он считает множители, а не произведения и не действия сложения. По показателю можно сразу восстановить развёрнутую запись степени.
Степень произведения — результат возведения произведения чисел в степень. Каждый множитель можно возвести в эту степень отдельно: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Правило помогает раскрывать скобки, когда в них перемножаются числа или переменные, и упрощать выражения.
При умножении степеней с одинаковым основанием объединяются все одинаковые множители. Например, a³ содержит три множителя a, а a² — ещё два, значит, вместе получается пять множителей и запись a⁵. Поэтому показатели складываются, а основание остаётся прежним: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием общие множители числителя и знаменателя сокращаются. Если сверху a⁵, а снизу a², после сокращения остаются три множителя a, то есть a³. Поэтому показатели вычитаются: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; основание должно быть ненулевым, иначе возникло бы деление на ноль.
Возведение степени в степень означает, что целое произведение повторяется несколько раз. Например, (a²)³ = (a · a) · (a · a) · (a · a), всего здесь шесть множителей a. Значит, показатель 2 повторяется три раза и показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
В произведении каждый множитель повторяется столько раз, сколько показывает внешняя степень. Например, (ab)³ = ab · ab · ab, а после перестановки множителей получаем a³b³. По той же причине степень частного распределяется на числитель и знаменатель: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, если b ≠ 0.
Развёрнутая запись помогает проверить, какое правило подходит к выражению. Если основание одно и то же, при умножении складывают показатели, а при делении вычитают; если одна степень возводится в другую — показатели перемножают. Например, 2³ · 2² = 2⁵, а не 4⁵: основания не складывают, потому что они обозначают одинаковые множители.
| Свойство | Формула | Условие |
|---|---|---|
| Произведение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Основания одинаковые |
| Частное степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | Основание a ≠ 0 |
| Степень степени | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Показатели натуральные |
| Степень произведения | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | Показатель натуральный |
| Степень частного | (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ | b ≠ 0 |
Сначала посмотрите, что именно возводится в степень и совпадают ли основания. Затем выберите подходящую строку таблицы и проверьте её условие, особенно при делении. Если правило вызывает сомнение, раскройте степени как произведения одинаковых множителей.
Задача 1. Упростите выражение 3⁴ · 3². Здесь основания одинаковые, а степени перемножаются, поэтому можно применить правило произведения степеней. Сохраняем основание 3 и складываем показатели: 4 + 2 = 6.
Ответ: 3⁶. Проверка: слева всего шесть множителей 3, значит, результат соответствует определению степени.
Задача 2. Упростите выражение (−2)³ · (−2)⁵ : (−2)⁴. Основание во всех трёх степенях одно и то же, поэтому сначала объединяем степени при умножении, затем вычитаем показатель делителя. Скобки вокруг отрицательного основания сохраняем: без них запись степени могла бы читаться иначе.
Ответ: 16. Четвёртая степень отрицательного числа положительна, потому что при умножении четырёх отрицательных множителей минусы соединяются попарно.
Задача 3. Представьте (2a³b²)² в виде произведения степеней и упростите при a = −1, b = 3. В скобках стоят множители, поэтому внешнюю степень нужно применить к каждому из них. Затем возведём в степень числовой множитель и используем правило степени степени для буквенных множителей.
Ответ: 4a⁶b⁴; при a = −1 и b = 3 значение выражения равно 324. При подстановке важно заключать отрицательное значение в скобки, чтобы степень относилась ко всему числу.
Ошибка: при умножении степеней складывают основания вместо показателей. Так делают, путая действия над числами с правилом степеней; оно работает только при одинаковых основаниях, которые нужно сохранить. Например, 3² · 3⁴ = 3⁶, а не 6⁶. Проверьте себя, развернув степени в произведения множителей.
Ошибка: при возведении степени в степень показатели складывают. Причина — перенос правила умножения степеней на другую ситуацию, хотя здесь повторяется вся степень; поэтому показатели умножают. Например, (a²)³ = a⁶, а не a⁵. Проверка раскрытием скобок показывает три пары множителей a.
Ошибка: в степени произведения возводят в степень только один множитель. Такое случается, если не заметить, что внешняя степень относится ко всему выражению в скобках. Правильно: (ab)³ = a³b³. Для проверки раскройте скобки: каждый множитель повторится три раза.
Ошибка: применяют правило деления степеней при нулевом основании или делят на ноль. Формула частного требует ненулевого основания, а знаменатель любого частного также не может быть нулём. Перед вычислением проверьте условие на основание и знаменатель. Если знаменатель равен нулю, такое выражение не имеет смысла.
Для этой темы нужны умножение и деление чисел, запись произведения одинаковых множителей и правила действий с отрицательными числами. Эти знания позволяют понять происхождение формул и аккуратно работать с отрицательными основаниями. Без них легко перепутать показатель со значением степени.
Свойства степеней помогают преобразовывать алгебраические выражения и вычислять их значения. С их помощью можно заменить длинные повторяющиеся произведения короткой записью и упростить вычисления. Дальше эти правила понадобятся при изучении одночленов, многочленов и стандартного вида числа.
Что показывает показатель степени?
Показатель показывает, сколько раз основание входит в произведение. Например, в записи 5³ основание 5 нужно перемножить само на себя три раза: 5 · 5 · 5.
Почему при умножении степеней показатели складываются?
Каждая степень показывает, сколько одинаковых множителей содержится в произведении. При умножении эти множители объединяются, поэтому их общее число равно сумме показателей.
Когда можно вычитать показатели при делении степеней?
Показатели вычитают при делении степеней с одинаковым ненулевым основанием. Ненулевое основание обязательно, потому что делить на ноль нельзя.
Что делать с показателями при возведении степени в степень?
Показатели нужно перемножить: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Это происходит потому, что степень aᵐ повторяется n раз.
Можно ли возвести в степень произведение или частное?
Да. Степень произведения можно распределить по всем его множителям: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Степень частного тоже распределяется на числитель и знаменатель, если знаменатель не равен нулю.
§ 20. Свойства степени с натуральным показателем
