§ 19. Таблица основных степеней

Определения и обозначения

Степень числа — произведение одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a умножают само на себя n раз: aⁿ = a · a · … · a. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Такая запись удобна, когда одинаковый множитель повторяется несколько раз.

Основание степени — число a, которое возводят в степень. В записи 5³ основание — 5: именно оно повторяется в произведении. Умение находить основание помогает понять, какое число нужно умножать на себя, и выбрать правильную строку или столбец таблицы.

Показатель степени — натуральное число n, показывающее, сколько раз основание входит множителем. В записи 5³ показатель равен 3, поэтому в произведении должно быть ровно три пятёрки: 5 · 5 · 5. Показатель помогает раскрыть запись степени без догадок и не перепутать число множителей.

Таблица основных степеней — справочная таблица со значениями часто используемых степеней чисел. В ней можно быстро найти квадраты и кубы чисел, а также степени чисел 2 и 3. Она нужна, чтобы не выполнять каждый раз длинные вычисления вручную и проверять готовые результаты.

Как это устроено

Чтобы найти значение степени, основание последовательно умножают на себя столько раз, сколько показывает показатель. Например, в 2⁴ четыре множителя 2, поэтому вычисление выглядит так: 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Показатель задаёт именно количество множителей, а не число, на которое надо умножить основание. Поэтому у степени с показателем 1 один множитель: 7¹ = 7.

В таблице сначала нужно понять, что именно дано: основание или показатель. Для записи 6² ищут строку n = 6 и столбец n², а для 2⁶ — строку n = 6 и столбец 2ⁿ. Число в месте пересечения и есть значение степени. Такой порядок поиска не даёт случайно взять значение для другого основания или другого показателя.

Табличный результат можно проверить через предыдущую степень того же основания. Например, если известно, что 3⁴ = 81, то 3⁵ должно быть в три раза больше: 81 · 3 = 243. Причина в том, что при переходе к следующей степени добавляется ещё один множитель основания. Проверка умножением позволяет заметить ошибку при чтении таблицы или вычислении.

Таблица ускоряет вычисления, потому что многие значения уже посчитаны и собраны в одном месте. По ней удобно не только находить результат, но и сравнивать числа: например, увидеть, какое табличное значение больше. Однако таблица не объясняет, что означает сама запись степени. Если перепутать основание и показатель, можно выбрать неверные данные, поэтому смысл записи всё равно нужно понимать.

Если выражение содержит несколько степеней, сначала находят значение каждой из них, пользуясь таблицей. Затем выполняют оставшиеся действия в обычном порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание, если в выражении нет скобок, меняющих этот порядок. Например, в выражении 3³ + 2⁴ сначала получают 27 и 16, а уже после этого складывают. Так таблица помогает с отдельными вычислениями, но не заменяет правила порядка действий.

Основные степени чисел

Для квадрата или куба выбирай строку с нужным числом n и столбец n² или n³. Для степеней 2ⁿ и 3ⁿ показатель указан в строке, а основание — в заголовке столбца. Проверь, что выбрал нужную строку и нужный столбец, прежде чем переписывать результат.

Разбор задач

Задача 1. Найти значение 7² по таблице и проверить результат умножением

Здесь основание равно 7, а показатель — 2, значит, нужно найти квадрат семи. В таблице квадратам соответствует столбец n², а числу 7 — строка n = 7. После нахождения значения отдельно раскроем степень, чтобы проверить результат обычным умножением.

1. Находим строку n = 7 и столбец n²; на их пересечении стоит 49.
2. Раскрываем запись: 7² = 7 · 7.
3. Выполняем проверку: 7 · 7 = 49, результат совпал с табличным.

Ответ: 7² = 49.

Задача 2. Вычислить 3³ + 2⁴, используя таблицу основных степеней

В выражении есть две степени и сложение, поэтому нельзя складывать основания или показатели. Сначала отдельно найдём значения степеней, обращаясь к подходящим столбцам таблицы. Лишь после этого сложим полученные числа, потому что сложение выполняется после нахождения значений слагаемых.

1. Для 3³ выбираем строку n = 3 и столбец n³; получаем 27.
2. Для 2⁴ выбираем строку n = 4 и столбец 2ⁿ; получаем 16.
3. Подставляем результаты в выражение и складываем: 27 + 16 = 43.

Ответ: 3³ + 2⁴ = 43.

Задача 3. Сравнить 5³ и 2⁷, не вычисляя степени заново

Чтобы сравнить степени, не нужно раскрывать их в длинные произведения: нужные числа уже есть в таблице. Для 5³ берём значение из столбца n³ в строке n = 5, а для 2⁷ — из столбца 2ⁿ в строке n = 7. Затем сравниваем полученные натуральные числа: больше то, у которого больше значение.

1. По таблице находим 5³ = 125.
2. В строке n = 7 и столбце 2ⁿ находим 2⁷ = 128.
3. Сравниваем: 125 меньше 128, значит, 5³ < 2⁷.

Ответ: 5³ < 2⁷.

Типичные ошибки

Ошибка: считать показатель множителем и записывать 4³ как 4 · 3. Так происходит, когда верхнее маленькое число принимают за указание, на что умножать основание. Но показатель задаёт количество одинаковых множителей, поэтому 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Проверь запись, посчитав, сколько раз в произведении встретилось основание.

Ошибка: перепутать основание и показатель степени. В записи aⁿ основание a стоит внизу, а показатель n — справа вверху; это разные роли, и замена одной другой изменит значение. Например, в 3⁵ основание — 3, показатель — 5, значит, множителей три не будет: их пять. Перед вычислением назови оба числа и их роли вслух.

Ошибка: принять квадрат числа за удвоение. В записи 6² показатель 2 означает два одинаковых множителя, поэтому 6² = 6 · 6 = 36, а не 6 · 2 = 12. Путают эти действия из-за присутствия двойки в записи. Проверка простая: раскрой степень как произведение, а не заменяй показатель множителем.

Ошибка: неверно считать строку или столбец таблицы и взять значение для другой степени. Это часто случается, если не различить показатель и основание либо торопиться при поиске пересечения. Перед тем как записать ответ, проверь заголовок столбца и обозначение строки. Затем можно сверить число умножением, используя смысл степени.

Связь с другими темами

Для работы со степенями нужно уметь умножать натуральные числа и понимать произведение одинаковых множителей. Если это пока вызывает затруднение, сначала потренируйся записывать повторяющееся умножение, например 4 · 4 · 4, в виде степени и обратно. Табличные значения затем пригодятся при вычислении числовых выражений и сравнении степеней. Они также станут опорой при дальнейшем изучении свойств степеней.

Что запомнить

• aⁿ — произведение n одинаковых множителей a.
• В записи aⁿ число a — основание, а n — показатель.
• Квадрат числа — его вторая степень, куб числа — его третья степень.
• Значение степени можно проверить умножением.
• При вычислении выражения сначала находят значения степеней, затем выполняют остальные действия.