§ 12. Таблица основных степеней

Определения и обозначения

Степень числа — произведение одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a умножают само на себя n раз: например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись помогает короче выражать длинное произведение и сразу видеть, сколько раз повторяется множитель.

Основание степени — число, которое повторяется множителем; в записи aⁿ это a. Например, в 5³ основание равно 5, и именно пятёрка входит в произведение три раза. Основание нужно, чтобы понять, какое число возводят в степень.

Показатель степени — число над строкой справа от основания; оно показывает количество одинаковых множителей. В записи 5³ показатель равен 3, поэтому 5³ = 5 · 5 · 5. Показатель помогает восстановить произведение даже тогда, когда оно записано коротко.

Квадрат числа — его вторая степень, а куб числа — третья степень: a² = a · a, a³ = a · a · a. Например, квадрат числа 4 равен 16, а куб числа 4 равен 64. Эти названия часто используют в вычислениях, поэтому полезно сразу связывать их с показателями 2 и 3.

Как это устроено

Значения степеней получают непосредственно из определения: раскрывают запись в произведение и перемножают одинаковые множители. Так, 3² = 3 · 3 = 9, а 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Для более высокой степени добавляют ещё один такой же множитель, поэтому новое значение можно получить из уже найденного.

При составлении таблицы удобно зафиксировать основание и последовательно увеличивать показатель. Если основание равно 2, можно выписать 2¹, 2², 2³ и так далее, не меняя множитель, а меняя его количество. Такой порядок не даёт смешать степени разных чисел и помогает увидеть связь соседних результатов.

Следующую степень находят умножением предыдущей на то же основание. Например, если 4³ = 64, то 4⁴ = 64 · 4 = 256: к трём четвёркам добавилась ещё одна. Этот способ удобнее, чем каждый раз заново записывать все множители, и уменьшает риск пропустить один из них.

В таблице обычно собраны степени небольших натуральных оснований и несколько первых показателей: такие значения часто встречаются в школьных вычислениях. Слишком большие основания и показатели дали бы громоздкие числа, которые трудно уместить в справочную таблицу и быстро прочитать. Чтобы воспользоваться таблицей, сначала находят столбец основания, затем строку показателя и считывают значение на пересечении.

Свойства степеней позволяют проверить или преобразовать значения, найденные по таблице. Например, 2⁶ можно записать как (2²)³: сначала по таблице находим 2² = 4, а затем вычисляем 4³ = 64, что совпадает с 2⁶. Здесь используется правило (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; проверка другим способом помогает заметить ошибку в вычислениях.

Таблица основных степеней натуральных чисел

В заголовках столбцов указаны основания, а названия строк сообщают показатель степени. Например, значение на пересечении столбца 6 и строки куба — это 6³ = 216. Перед чтением проверь и строку, и столбец: их перестановка изменит искомую степень.

Разбор задач

Задача 1

По таблице определить значение 7² и объяснить смысл этой записи. Сначала нужно определить, что именно обозначают цифры в записи, а затем выбрать соответствующую клетку таблицы. Так проще не принять показатель за число, на которое умножают основание.

1. Основание — 7, а показатель — 2.
2. Значит, 7² = 7 · 7; в таблице выбираем столбец 7 и строку второй степени.
3. На их пересечении находится число 49.

Ответ: 7² = 49; запись означает произведение двух семёрок. Проверка раскрытием степени подтверждает значение из таблицы.

Задача 2

Вычислить 4³ + 6² − 5², используя таблицу основных степеней. Сначала находим отдельные значения степеней, потому что возведение в степень выполняется раньше сложения и вычитания. После этого остаётся вычислить выражение с обычными числами.

1. По таблице: 4³ = 64, 6² = 36, 5² = 25.
2. Подставляем значения: 64 + 36 − 25.
3. Выполняем сложение и вычитание слева направо: 64 + 36 = 100, 100 − 25 = 75.
4. Проверяем порядок действий: все три степени вычислены до сложения и вычитания.

Ответ: 75. Проверка помогает убедиться, что из суммы вычли именно значение 5², а не сам показатель 2.

Задача 3

Сравнить 3⁴ и 2⁶, не повторяя полностью все промежуточные умножения. По таблице находим 3⁴ = 81 и 2⁶ = 64, поэтому первое число больше. Можно обосновать сравнение через свойство степеней: 2⁶ = (2²)³, а таблица даёт 2² = 4 и 4³ = 64.

1. Для 3⁴ используем значение таблицы: 3⁴ = 81.
2. Преобразуем 2⁶ в (2²)³ и берём из таблицы 2² = 4.
3. Получаем 2⁶ = 4³ = 64, не перемножая шесть двоек по отдельности.
4. Сравниваем результаты: 81 больше 64.

Ответ: 3⁴ > 2⁶. Свойство степени сократило вычисления, а сравнение готовых значений подтвердило вывод.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поменять местами основание и показатель, потому что верхний индекс кажется обычным множителем. В записи 4³ основание равно 4, а показатель — 3; это означает три четвёрки, а не четыре тройки. Проверь себя, раскрыв степень как произведение и сверив число множителей с показателем.

Иногда считают, что aⁿ = a · n, хотя степень означает повторное умножение основания на себя. Например, 5² равно 25, а не 10. Чтобы проверить ответ, запиши произведение одинаковых множителей и вычисли его отдельно.

При переходе к следующей степени можно ошибочно умножить предыдущий результат на показатель, а не на основание. Например, из 3² = 9 получаем 3³ = 9 · 3, а не 9 · 3; здесь числа совпали, поэтому возьмём другой пример: из 4² = 16 следует 4³ = 16 · 4, а не 16 · 3. Проверяй, какое число повторяется в записи степени.

Ещё одна ошибка — неверно считать строку или столбец, особенно принимая квадрат за куб. При поиске 6³ нужна строка третьей степени и столбец основания 6, а не строка квадрата. Проговори запись вслух: основание сообщает столбец, показатель — строку; затем проверь результат умножением.

Связь с другими темами

Перед изучением степеней нужны навыки умножения натуральных чисел, понимание порядка действий и буквенных выражений. Именно умножение позволяет раскрыть степень, а знание букв помогает читать общую запись aⁿ. Без порядка действий легко ошибиться, например, вычисляя сначала сумму, а потом степень.

Таблица пригодится в вычислениях со степенями, сокращённом умножении и преобразовании числовых выражений. Готовые квадраты и кубы позволяют быстрее подставлять значения в формулы и проверять вычисления. Позже степени встретятся при изучении одночленов, многочленов, формул сокращённого умножения и квадратных уравнений.

Что запомнить

• Степень — это произведение одинаковых множителей.
• Основание показывает, какое число повторяется.
• Показатель показывает количество множителей.
• Квадрат числа — его вторая степень.
• Куб числа — его третья степень.
• Следующую степень одного и того же основания получают умножением предыдущей на это основание.
• Таблицу основных степеней используют для быстрого вычисления и проверки результатов.