§ 20. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение числового множителя и буквенных множителей, каждый из которых возведён в неотрицательную целую степень. Например, 5a²b — одночлен: его можно представить как произведение 5 · a² · b, причём b = b¹. Число 7 тоже одночлен, потому что его можно считать произведением без буквенных множителей.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой все числа перемножены, а одинаковые буквенные множители объединены в степень. Например, 2a · 3a²b записывают как 6a³b: числа 2 и 3 перемножают, а степени буквы a складывают. Такая запись помогает быстро увидеть состав одночлена и выполнять вычисления.

Коэффициент одночлена — числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде. У выражения 6a³b коэффициент равен 6, а коэффициент 1 обычно не пишут: вместо 1x записывают x. Если перед буквенной частью стоит минус, он входит в коэффициент, поэтому у −4xy коэффициент −4.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех буквенных множителей в стандартном виде. Например, степень 6a³b равна 3 + 1 = 4; числовой множитель 6 при этом не учитывают. У любого числового одночлена, отличного от нуля, степень равна нулю, потому что в нём нет букв.

Как это устроено

Одночлен получается, когда числа и буквы перемножают, а не складывают. Степень с натуральным показателем показывает, сколько одинаковых множителей нужно взять: a³ означает a · a · a. Поэтому запись 5a²b можно раскрыть как 5 · a · a · b, и она действительно является одним произведением. Буква без показателя имеет показатель 1, а число можно считать множителем без букв.

Произведение одночленов снова можно представить одним произведением. Числовые множители перемножаются между собой, а одинаковые буквы остаются в буквенной части. Например, a² · a³ = a · a · a · a · a = a⁵, поэтому показатели складываются: 2 + 3 = 5. Если буквы разные, как a и b, их просто записывают рядом: ab.

Чтобы привести запись к стандартному виду, сначала отдельно перемножают числа, затем собирают одинаковые буквы. Например, в 3a · 2a²b коэффициенты дают 3 · 2 = 6, а буквы a и a² превращаются в a³; буква b остаётся без изменений. Получается 6a³b. Такой порядок помогает не потерять ни знак, ни один из множителей.

Когда одночлен уже приведён к стандартному виду, коэффициент находят среди числовых множителей, а степень — по буквенной части. В записи −4x²y коэффициент равен −4, а степень равна 2 + 1 = 3. Буквы x и y не являются числами, поэтому их не нужно перемножать, чтобы найти коэффициент. Если букв нет, ненулевое число имеет степень 0.

Знаки действий помогают понять, является ли вся запись одним произведением. Например, 2a · 3b — произведение, значит, это одночлен; после упрощения получаем 6ab. А выражение a + b состоит из двух слагаемых, соединённых плюсом, поэтому оно не одночлен, хотя и a, и b по отдельности являются одночленами. Скобки сами по себе не меняют смысл: важно, что именно находится внутри и какие действия выполняются.

Одночлены и их стандартный вид

Сначала проверьте, является ли исходная запись одним произведением: для суммы стандартного вида одночлена нет. В остальных строках сравните исходную запись со стандартной и посмотрите, как из неё получают коэффициент и степень. В числовом одночлене степень равна нулю, а коэффициент совпадает с самим числом.

Разбор задач

Задача 1. Приведите одночлен 3a · 2a²b к стандартному виду и укажите его коэффициент и степень. Сначала отделим числовые множители от буквенных: так проще не смешать вычисление коэффициента с подсчётом степени. Затем соберём одинаковые буквы.

1. Перемножим числа: 3 · 2 = 6.
2. Объединим множители a и a²: a · a² = a³. Буква b встречается один раз, поэтому её показатель равен 1.
3. Запишем результат: 6a³b. Коэффициент равен 6, степень равна 3 + 1 = 4.

Ответ: 6a³b; коэффициент 6, степень 4. При подсчёте степени мы сложили показатели букв и не включали в сумму числовой множитель. Такой порядок подходит и для одночленов с большим числом букв.

Задача 2. Запишите в стандартном виде выражение −2x · 3x²y · (−y) и определите его коэффициент и степень. Здесь особенно важно сначала разобраться со знаками: в произведении два отрицательных множителя, значит, итоговый коэффициент будет положительным. После этого можно объединить одинаковые буквы.

1. Перемножим числа: (−2) · 3 · (−1) = 6. У множителя (−y) числовой коэффициент равен −1.
2. Объединим буквы: x · x² = x³, а y · y = y².
3. Получим 6x³y². Коэффициент равен 6, степень равна 3 + 2 = 5.

Ответ: 6x³y²; коэффициент 6, степень 5. Проверка знака показывает, что два минуса дают плюс. Проверка степени показывает, что учтены все пять буквенных множителей: три x и две y.

Задача 3. Определите, какие из выражений 5a²b, a + b, 4/(x²) являются одночленами; одночлены запишите в стандартном виде. Проверим каждую запись по определению: она должна быть одним произведением, а показатели букв — неотрицательными целыми числами. Это позволяет отличить одночлен не только по виду, но и по смыслу.

1. 5a²b уже записано как произведение с допустимыми показателями. Это одночлен в стандартном виде; коэффициент 5, степень 2 + 1 = 3.
2. a + b — сумма, а не произведение, поэтому выражение не является одночленом.
3. 4/(x²) = 4x⁻², то есть показатель буквы отрицательный. Это выражение не является одночленом.

Ответ: одночлен — 5a²b, его стандартный вид не меняется. Сумма a + b и выражение 4/(x²) одночленами не являются. При проверке мы отдельно учли вид действия и допустимость показателя.

Типичные ошибки

Считать сумму одночленов одночленом. Это неверно: знак сложения разделяет запись на несколько слагаемых, а одночлен должен быть одним произведением. Ошибку допускают, принимая за одночлен каждое выражение, в котором есть буквы. Проверьте, не соединены ли части записи знаком плюс или минус как слагаемые: a + b не одночлен.

Перемножать показатели одинаковых букв вместо того, чтобы складывать их. Например, a² · a³ = a⁵, а не a⁶, потому что всего берутся пять множителей a. Ошибка возникает из-за того, что перемножаются сами степени, а не повторяющиеся буквенные множители. Для проверки раскройте степени: a² · a³ = a · a · a · a · a.

Не учитывать знак или неверно перемножать коэффициенты. При приведении к стандартному виду знаки числовых множителей тоже перемножаются: произведение двух отрицательных чисел положительно. Невнимательность часто появляется, когда числа считают отдельно от букв и забывают знак одного из множителей. Проверьте числовую часть вычислением и отдельно посчитайте количество отрицательных множителей.

Считать букву в знаменателе допустимой степенью. Например, 1/x² можно переписать как x⁻², но показатель −2 не подходит под определение одночлена. Такую запись иногда ошибочно считают одночленом, потому что она похожа на произведение после преобразования. Чтобы проверить себя, убедитесь, что у каждой буквы показатель — неотрицательное целое число.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужны навыки умножения чисел и буквенных выражений, а также знание степеней с натуральными показателями. Особенно пригодится правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели при этом складывают. Стандартный вид помогает складывать и умножать одночлены, преобразовывать многочлены и упрощать алгебраические выражения. Поэтому умение распознавать одночлен и находить его характеристики станет основой для следующих преобразований.

Что запомнить

• Одночлен — это произведение чисел и буквенных множителей.
• Показатели степеней букв в одночлене — неотрицательные целые числа.
• В стандартном виде числовые множители перемножены, а одинаковые буквы объединены.
• Коэффициент — числовой множитель одночлена.
• Степень одночлена равна сумме показателей степеней его букв.
• Число, отличное от нуля, — одночлен нулевой степени.