§ 21. Сложение и вычитание одночленов

Определения и обозначения

Одночлен — произведение чисел, переменных и их степеней с неотрицательными целыми показателями. Например, 3a²b и −5xy — одночлены. Чтобы было удобнее сравнивать и преобразовывать одночлены, их записывают в стандартном виде.

Стандартный вид одночлена — произведение числового коэффициента и степеней различных переменных. Числа перемножают, а одинаковые переменные записывают одной степенью: например, 2a · 3a² = 6a³. Такая запись помогает сразу увидеть буквенную часть и понять, с какими одночленами выражение можно упростить.

Подобные одночлены — одночлены с одинаковой буквенной частью, то есть с теми же переменными в тех же степенях. Например, 4x²y и −7x²y подобны, а 4xy и 4x²y — нет. Это понятие нужно, чтобы определить, какие слагаемые можно объединить.

Коэффициент одночлена — числовой множитель в его стандартном виде. В записи 6ab коэффициент равен 6, а в −x² коэффициент не написан, но равен −1; если перед буквенной частью нет знака, коэффициент равен 1. Знание коэффициентов позволяет выполнять действия с подобными одночленами, не меняя их буквенную часть.

Как это устроено

Перед сложением и вычитанием одночлены приводят к стандартному виду. Пока произведение не упрощено, одинаковые переменные и их степени могут быть записаны по-разному, поэтому сравнение бывает затруднено. Например, 2a · 3b и 5ba после упрощения имеют вид 6ab и 5ab, так что их подобие становится очевидным.

Объединять можно только подобные одночлены, потому что у них совпадает буквенная часть. Её можно вынести за скобки как общий множитель: например, 3a + 5a = (3 + 5)a. Если буквы или показатели степеней различны, общего буквенного множителя в виде всей буквенной части нет, и такое объединение не выполняется.

Чтобы сложить подобные одночлены, складывают их коэффициенты, а буквенную часть оставляют прежней. Это следует из распределительного свойства умножения относительно сложения: ca + da = (c + d)a. Например, 2x² + 7x² = (2 + 7)x² = 9x²; показатель 2 сохраняется, потому что слагаемые содержат одинаковое x².

При вычитании подобных одночленов вычитают коэффициенты, а буквенную часть также сохраняют: ca − da = (c − d)a. Минус перед вычитаемым относится ко всему этому одночлену, поэтому его коэффициент нужно вычесть, а не просто отбросить знак. Например, 4y − 9y = (4 − 9)y = −5y.

Неподобные одночлены нельзя заменить одним одночленом, потому что у них нет одинаковой буквенной части, которую можно вынести за скобки. Например, 2a + 3b нельзя записать как 5ab: сумма слагаемых не превращается в произведение. По той же причине 2x + 3x² остаётся суммой: одинаковая переменная x записана в разных степенях.

Сложение и вычитание одночленов

Пользуйся таблицей так: сначала сравни буквенные части одночленов, а затем выбери подходящую строку. Если они совпадают, выполни указанное действие с коэффициентами и сохрани буквы. Если не совпадают, оставь слагаемые раздельно; когда запись не стандартная, сначала упрости её.

Разбор задач

Упростите выражение 3a + 5a.

1. Сравним буквенные части: у обоих слагаемых это a, значит, одночлены подобны.
2. Запишем общий множитель за скобки: 3a + 5a = (3 + 5)a.
3. Сложим коэффициенты: 3 + 5 = 8. Буквенная часть a остаётся без изменения.

Ответ: 8a.

Упростите выражение 7x²y − 10x²y + 4x²y.

1. У всех трёх одночленов одинаковая буквенная часть x²y, поэтому можно выполнить действие с коэффициентами.
2. Сохраним порядок знаков: (7 − 10 + 4)x²y. Число −10 уже учитывает знак минус перед вторым слагаемым.
3. Вычислим коэффициент: 7 − 10 + 4 = 1. Коэффициент 1 обычно не записывают, поэтому остаётся x²y.

Ответ: x²y.

Упростите выражение 2ab + 3a²b − 5ab + a²b.

1. Сравним буквенные части. Слагаемые 2ab и −5ab подобны между собой, а 3a²b и a²b образуют другую группу.
2. Сгруппируем подобные одночлены: (2ab − 5ab) + (3a²b + a²b).
3. В первой группе получим (2 − 5)ab = −3ab, во второй — (3 + 1)a²b = 4a²b. Разные буквенные части нельзя объединить дальше.

Ответ: −3ab + 4a²b.

Типичные ошибки

Иногда считают, что 2a + 3b = 5ab, но складывать коэффициенты можно лишь при одинаковой буквенной части. Ошибка возникает, когда сумму путают с умножением: 5ab — это произведение, а не результат сложения данных слагаемых. Проверь себя: переменные и их показатели в слагаемых должны полностью совпадать.

При сложении подобных одночленов иногда складывают показатели степеней, например ошибочно получают 2x² + 3x² = 5x⁴. Показатели складывают при умножении степеней с одинаковым основанием, а здесь складываются одночлены. Проверка простая: оставь x² как общую буквенную часть и сложи только коэффициенты.

При вычитании можно потерять минус перед вычитаемым одночленом и ошибочно получить 7x − 10x = 17x. Минус означает, что коэффициент 10 нужно вычесть: 7 − 10 = −3. Для самопроверки запиши действие в скобках с буквенной частью за скобками: (7 − 10)x.

Если не привести одночлены к стандартному виду, легко не заметить подобие или, наоборот, принять разные записи за разные слагаемые. Например, 2a · 3b и 5ba после упрощения становятся 6ab и 5ab. Перед сравнением умножь числовые множители и запиши одинаковые переменные вместе с их показателями.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужно знать, как перемножать степени с одинаковыми основаниями и как приводить произведение к стандартному виду. Это позволяет корректно сравнить буквенные части, даже если выражения изначально записаны по-разному. Правило сложения и вычитания следует из распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания.

Позже эти действия понадобятся при упрощении многочленов — выражений, состоящих из нескольких одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Подобные слагаемые в многочлене группируют и объединяют по коэффициентам, а неподобные сохраняют. Значит, умение распознавать буквенные части помогает упорядочить более длинные выражения.

Что запомнить

• Перед действиями приведи одночлены к стандартному виду.
• Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть.
• При сложении подобных одночленов складывают коэффициенты.
• При вычитании подобных одночленов вычитают коэффициенты с учётом знаков.
• Буквенную часть подобных одночленов оставляют без изменения.
• Неподобные одночлены нельзя объединить в один одночлен.