§ 17. Сложение и вычитание одночленов

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение числового множителя и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями. Его записывают в стандартном виде: числовой множитель ставят первым, а одинаковые переменные объединяют, например 2a · 3a² = 6a³. Стандартная запись помогает увидеть состав одночлена и сравнить его с другими выражениями.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. Если число явно не записано, как в одночлене x, коэффициент равен 1; в одночлене −x он равен −1. У противоположного одночлена буквенная часть та же, а коэффициент меняет знак, поэтому запись знака перед выражением тоже нужно учитывать.

Подобные одночлены — одночлены с одинаковой буквенной частью: в них те же переменные стоят в тех же степенях. Например, 4a²b и −7a²b подобны, а 4ab и 4a²b — нет. Это понятие нужно, чтобы определить, какие слагаемые можно объединить при упрощении выражения.

Приведение подобных одночленов — замена суммы или разности подобных одночленов одним одночленом. Например, 3a + 5a заменяют на 8a. При таком преобразовании буквенная часть сохраняется, а числовые коэффициенты объединяются.

Как это устроено

Перед сложением и вычитанием удобно записать одночлены в стандартном виде. В длинной записи одинаковые переменные могут быть представлены как произведение, и сразу сравнить выражения труднее. После упрощения каждой буквенной части видно, совпадают ли переменные и их показатели. Например, 2 · a · a и 5a² имеют одну и ту же буквенную часть a².

Объединять можно только подобные одночлены, потому что у них совпадает буквенная часть. Тогда каждый одночлен означает число одинаковых групп с одним и тем же буквенным выражением: 3a — это три группы по a, а 5a — пять таких групп. При сложении или вычитании число групп меняется, но сами группы остаются прежними. Если же буквенные части разные, например a и b, группы нельзя посчитать как одинаковые.

При сложении подобных одночленов складывают их коэффициенты, а буквенную часть переписывают без изменения. Это похоже на сложение чисел одинакового разряда: сначала объединяются числовые части, а общее обозначение остаётся тем же. Например, 3a + 5a = (3 + 5)a = 8a. Нельзя складывать буквы вместо коэффициентов: буквенная часть здесь обозначает одну и ту же группу.

Вычитание удобно понимать как сложение с противоположным числом. Поэтому коэффициент вычитаемого можно взять с противоположным знаком, а затем сложить коэффициенты: 7x²y − 10x²y = (7 − 10)x²y. Получается −3x²y, потому что десять таких групп больше семи. Общая буквенная часть x²y остаётся прежней и при положительном, и при отрицательном результате.

Неподобные одночлены нельзя заменить одним одночленом, потому что у них разные буквенные части. Например, в выражении 2a + 3b числовые коэффициенты можно было бы сложить, только если бы обе части обозначали одинаковые группы, но a и b различаются. Даже если коэффициенты случайно дают удобное число, это не делает буквенные части одинаковыми. Поэтому выражение 2a + 3b оставляют без объединения.

Сложение и вычитание одночленов

Сначала найди в выражении буквенные части и определи, какие из них совпадают. Затем выбери строку таблицы: для подобных одночленов выполни действие с коэффициентами, а буквенную часть сохрани. Если одночлены неподобные, оставь их отдельными слагаемыми.

Разбор задач

Задача 1. Упростите выражение: 3a + 5a. Перед вычислением проверим, можно ли объединить слагаемые: у обоих одинаковая буквенная часть a. Значит, число групп складывается, а буква остаётся прежней.

1. Выпишем коэффициенты: 3 и 5.
2. Сложим их: 3 + 5 = 8.
3. Припишем общую буквенную часть a: получим 8a.

Ответ: 8a. Здесь важно не складывать сами буквы: складываются только числовые коэффициенты, потому что слагаемые подобны.

Задача 2. Упростите выражение: 7x²y − 10x²y. Буквенные части совпадают, поэтому выражение можно привести к одному одночлену. Так как коэффициент второго одночлена вычитается, результат может оказаться отрицательным.

1. Запишем действие с коэффициентами: 7 − 10.
2. Вычислим: 7 − 10 = −3.
3. Сохраним буквенную часть x²y и запишем результат: −3x²y.

Ответ: −3x²y. Знак минус показывает, что вычитаемый одночлен по числовой части больше первого.

Задача 3. Упростите выражение: 4ab − 2a²b + 3ab − a²b. Здесь есть две разные буквенные части: ab и a²b. Поэтому объединим только одночлены внутри каждой группы, не смешивая эти группы между собой.

1. Соберём слагаемые с буквенной частью ab: 4ab + 3ab.
2. Соберём слагаемые с буквенной частью a²b: −2a²b − a²b.
3. Выполним действия с коэффициентами: 4 + 3 = 7, а −2 − 1 = −3.
4. Запишем обе части результата: 7ab − 3a²b.

Ответ: 7ab − 3a²b. Эти два одночлена нельзя объединить дальше, потому что ab и a²b — разные буквенные части.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать коэффициенты у неподобных одночленов, например превращать 2a + 3b в 5ab. Так делают, заметив числа 2 и 3, но буквенные части a и b различаются, поэтому группы не одинаковы. Проверь себя: перед вычислением сравни переменные и степени. Если они не совпадают, коэффициенты нельзя объединять.

Ошибка: при вычитании вычитать меньший коэффициент из большего, не учитывая порядок, например считать 3a − 5a равным 2a. Путаница возникает, если воспринимать вычитание как действие без знака. Сохраняй порядок: 3 − 5 = −2, значит, результат равен −2a. Проверка проста: больший по модулю вычитаемый коэффициент даёт отрицательный результат в этом примере.

Ошибка: менять буквенную часть при приведении подобных одночленов. Например, из 3a²b + 2a²b нельзя получить 5ab: показатель степени у a должен сохраниться. Обычно это происходит, когда буквы воспринимают как часть числового действия. Сверь исходные слагаемые и результат: у подобной группы буквенная часть должна остаться ровно той же.

Ошибка: считать коэффициент одночлена x равным нулю, потому что число перед буквой не написано. Отсутствие записи принимают за отсутствие множителя, хотя умножение на 1 просто не указывают. Подставь стандартную форму: x = 1 · x, значит, коэффициент равен 1. Для −x коэффициент равен −1, поскольку знак минус относится к числовому множителю.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужно уметь записывать их в стандартном виде и находить коэффициент и буквенную часть. Эти навыки позволяют быстро проверить, какие выражения подобны. Если стандартный вид не упорядочен, можно ошибочно не заметить одинаковые переменные в одинаковых степенях.

Правила приведения опираются на сложение и вычитание чисел, в том числе отрицательных. Поэтому при вычитании коэффициентов важно соблюдать порядок действия и правильно учитывать знак результата. Например, 4 − 9 = −5, и коэффициент одночлена тоже будет отрицательным.

Приведение подобных одночленов помогает упрощать многочлены и алгебраические выражения. В многочлене может быть несколько групп с разными буквенными частями, поэтому сначала находят подобные слагаемые, а затем упрощают каждую группу. Это делает запись короче и удобнее для дальнейших вычислений.

Что запомнить

• Перед приведением подобных одночленов сравни их буквенные части.
• Подобные одночлены имеют одинаковые переменные в одинаковых степенях.
• При сложении подобных одночленов складывают коэффициенты.
• При вычитании подобных одночленов из коэффициента первого вычитают коэффициент второго.
• Буквенную часть подобных одночленов сохраняют.
• Неподобные одночлены нельзя заменить одним одночленом.